北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A, B$ 为两个 $n$ 阶矩阵，则下列正确的是（ （7）
（A）$|A+B|=|A|+|B|$ ；
$(\mathrm{B})|k A|=k|A|$ ；
（C）$|A B|=|B||A|$ ；
（D）$A^{k} B^{k}=(A B)^{k}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项(A)的正确性
考虑矩阵行列式的加法性质。取反例：设 $A=I$（单位矩阵），$B=-I$，则 $|A+B|=|0|=0$，而 $|A|+|B|=1+1=2$，两者不相等，故选项(A)错误。
提示：注意行列式对加法一般不成立，不能直接拆开。
步骤 2/5
目标：分析选项(B)的正确性
考察数乘行列式的性质：对于 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $|kA| = k^n |A|$，而不是 $k|A|$。因此选项(B)错误。
公式：|kA| = k^n |A|
提示：数乘行列式时，每行提取一个因子k，共n行，所以是k的n次方。
步骤 3/5
目标：分析选项(C)的正确性
由行列式的乘法性质，$|AB| = |A| \cdot |B|$，且实数乘法可交换，故 $|A||B| = |B||A|$，因此 $|AB| = |B||A|$，选项(C)正确。
公式：|AB| = |A||B|
提示：注意行列式乘法性质成立，且乘法交换律对实数成立。
步骤 4/5
目标：分析选项(D)的正确性
矩阵乘法一般不满足交换律，因此 $A^k B^k$ 与 $(AB)^k$ 通常不相等。取反例：$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，则 $A^2=A$，$B^2=0$，$A^k B^k=0$（$k\geq2$），而 $(AB)^k = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^k = 0$（$k\geq2$），但 $k=1$ 时相等，一般情况不成立，故(D)错误。
提示：注意矩阵乘法不交换，幂运算不能随意交换顺序。
步骤 5/5
目标：总结正确选项
经过逐一分析，只有选项(C)正确。因此正确答案为C。
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