北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
3．线性变换 A 在基 $\varepsilon_{1}$ 、 $\varepsilon_{2}$ 、 $\varepsilon_{3}$ 下的矩阵是 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 A 在基 $\varepsilon_{1}$ 、 $\varepsilon_{3}$ 、 $\varepsilon_{2}$ 下的矩阵是
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（（8） （8））
```
（A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知线性变换 $A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$，即 $A\varepsilon_1 = \varepsilon_1$, $A\varepsilon_2 = 2\varepsilon_2$, $A\varepsilon_3 = 3\varepsilon_3$。要求 $A$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_3, \varepsilon_2$ 下的矩阵。
提示：注意基的顺序改变会影响矩阵的列排列。
步骤 2/7
目标：写出新基的向量顺序
新基为 $\varepsilon_1, \varepsilon_3, \varepsilon_2$，即第一个基向量是 $\varepsilon_1$，第二个是 $\varepsilon_3$，第三个是 $\varepsilon_2$。
提示：基的顺序是解题的关键，不要混淆。
步骤 3/7
目标：计算第一个基向量的像在新基下的坐标
计算 $A\varepsilon_1 = \varepsilon_1$。将 $\varepsilon_1$ 用新基表示：$\varepsilon_1 = 1\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_3 + 0\cdot\varepsilon_2$。所以坐标向量为 $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$。
提示：注意新基的第二个分量对应 $\varepsilon_3$，第三个分量对应 $\varepsilon_2$。
步骤 4/7
目标：计算第二个基向量的像在新基下的坐标
计算 $A\varepsilon_3 = 3\varepsilon_3$。将 $\varepsilon_3$ 用新基表示：$\varepsilon_3 = 0\cdot\varepsilon_1 + 1\cdot\varepsilon_3 + 0\cdot\varepsilon_2$。所以坐标向量为 $\begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}$。
提示：注意 $A\varepsilon_3$ 的系数3要乘到对应的坐标分量上。
步骤 5/7
目标：计算第三个基向量的像在新基下的坐标
计算 $A\varepsilon_2 = 2\varepsilon_2$。将 $\varepsilon_2$ 用新基表示：$\varepsilon_2 = 0\cdot\varepsilon_1 + 0\cdot\varepsilon_3 + 1\cdot\varepsilon_2$。所以坐标向量为 $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$。
提示：注意 $\varepsilon_2$ 在新基中是第三个基向量。
步骤 6/7
目标：写出新基下的矩阵
将三个坐标向量按列排列，得到新基下的矩阵：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列对应新基中每个基向量的像的坐标。
步骤 7/7
目标：选择正确选项
对比选项，该矩阵对应选项 (A)。
提示：注意选项 (A) 是 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。
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