北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则下列选项中正确的是（（9））
（A）当齐次线性方程组 $A x=0$ 有唯一解时，行列式 $|A|=0$ ；
（B）当齐次线性方程组 $A x=0$ 有无穷多解时，行列式 $|A|=0$ ；
（C）当行列式 $|A|=0$ 时，线性方程组 $A x=b$ 无解；
（D）当行列式 $|A|=0$ 时，线性方程组 $A x=b$ 有无穷多解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解齐次线性方程组解的情况与行列式的关系
对于n阶方阵A，齐次线性方程组$Ax=0$的解的情况由行列式$|A|$决定。当$|A| \neq 0$时，A可逆，方程组有唯一解（即零解）；当$|A|=0$时，A不可逆，方程组有无穷多解（存在非零解）。
提示：注意：齐次方程组总有零解，唯一解就是只有零解。
步骤 2/5
目标：分析选项（A）
选项（A）说：当齐次线性方程组$Ax=0$有唯一解时，行列式$|A|=0$。根据第一步，唯一解时$|A| \neq 0$，所以（A）错误。
提示：唯一解对应行列式非零，不要记反。
步骤 3/5
目标：分析选项（B）
选项（B）说：当齐次线性方程组$Ax=0$有无穷多解时，行列式$|A|=0$。根据第一步，无穷多解时$|A|=0$，所以（B）正确。
提示：无穷多解对应行列式为零，这是正确的。
步骤 4/5
目标：分析选项（C）和（D）
选项（C）和（D）涉及非齐次线性方程组$Ax=b$。当$|A|=0$时，A不可逆，方程组可能无解也可能有无穷多解，具体取决于b是否在A的列空间中。因此（C）和（D）的说法都过于绝对，都是错误的。
提示：行列式为零时，非齐次方程组解的情况不确定，需要进一步判断秩。
步骤 5/5
目标：总结正确选项
综合以上分析，只有选项（B）正确。因此答案为（B）。
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