北京工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
5．若 $V$ 为 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间。若 $V=V_{1}+V_{2}$ 。下列选项正确的是
（（10））
（A）$n=\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}$ ；
（B）$n \leq \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}$ ；
（C）$V_{1} \cap V_{2}=\{\theta\}$ ；
（D）$V_{1} \cap V_{2} \neq\{\theta\}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件
已知 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，且 $V = V_1 + V_2$。
提示：注意 $V = V_1 + V_2$ 表示和空间等于整个空间，但不一定是直和。
步骤 2/8
目标：回忆维数公式
对于线性空间的子空间 $V_1$ 和 $V_2$，有维数公式：
$$\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).$$
公式：\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：维数公式是处理子空间和与交的关键工具，注意交的维数可能为零。
步骤 3/8
目标：代入已知条件
因为 $V = V_1 + V_2$，所以 $\dim(V_1 + V_2) = \dim V = n$。代入维数公式得：
$$n = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2).$$
公式：n = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：注意 $\dim(V_1 + V_2) = n$ 是直接由条件得到的。
步骤 4/8
目标：推导不等式
由上式可得 $\dim V_1 + \dim V_2 = n + \dim(V_1 \cap V_2)$。由于维数非负，$\dim(V_1 \cap V_2) \geq 0$，因此
$$\dim V_1 + \dim V_2 \geq n,$$
即 $n \leq \dim V_1 + \dim V_2$。
公式：\dim V_1 + \dim V_2 = n + \dim(V_1 \cap V_2) \geq n
提示：注意 $\dim(V_1 \cap V_2)$ 可能为零，也可能为正，所以不等式是 $\geq$。
步骤 5/8
目标：分析选项 (B)
选项 (B) 为 $n \leq \dim V_1 + \dim V_2$，与推导结果一致，故 (B) 正确。
提示：直接匹配不等式即可。
步骤 6/8
目标：分析选项 (A)
选项 (A) 为 $n = \dim V_1 + \dim V_2$。由 $\dim V_1 + \dim V_2 = n + \dim(V_1 \cap V_2)$ 可知，等式成立当且仅当 $\dim(V_1 \cap V_2) = 0$，即 $V_1 \cap V_2 = \{\theta\}$。但题目未给出此条件，故 (A) 不一定成立。
提示：注意 $V_1 \cap V_2 = \{\theta\}$ 是直和的条件，但题目只给和空间等于 $V$，不一定是直和。
步骤 7/8
目标：分析选项 (C) 和 (D)
选项 (C) 和 (D) 分别断言 $V_1 \cap V_2 = \{\theta\}$ 和 $V_1 \cap V_2 \neq \{\theta\}$。由维数公式可知，$\dim(V_1 \cap V_2)$ 可以是任意非负整数，只要满足 $n = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$。因此两者都不一定成立。
提示：反例：取 $V = \mathbb{R}^2$，$V_1 = \{(x,0)\}$，$V_2 = \{(0,y)\}$，则 $V_1 \cap V_2 = \{\theta\}$；取 $V_1 = V_2 = V$，则 $V_1 \cap V_2 = V \neq \{\theta\}$。
步骤 8/8
目标：得出结论
综上所述，只有选项 (B) 正确。
提示：注意题目是单选题，只有一个正确选项。
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