北京工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
七．（共25分）设 $\displaystyle G=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵。
（1）若 $A$ 可逆，证明 $G$ 的行列式 $\displaystyle |G|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|$ ；
（2）设 $E$ 是 $n$ 级单位矩阵。令 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}0 & E \\ -E & 0\end{array}\right)$ ，若矩阵 $G$ 满足 $\displaystyle G M G^{Y}=M$ ，证明 $G$ 的行列式等于 1 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造分块初等变换矩阵
设 $G = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，其中 $A$ 可逆。构造分块矩阵 $P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$，则 $P$ 的行列式为 $|I| \cdot |I| = 1$。
公式：$P = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$
提示：注意分块矩阵的行列式公式：$\begin{vmatrix} I & 0 \\ X & I \end{vmatrix} = 1$，其中 $X$ 是任意矩阵。
步骤 2/6
目标：左乘变换矩阵化简G
计算 $PG = \begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}$。
公式：$PG = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法时，左下角块的计算：$-CA^{-1}A + C = 0$，右下角块：$-CA^{-1}B + D$。
步骤 3/6
目标：利用行列式乘法性质
由于 $|P| = 1$，有 $|G| = |PG| = \left| \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} \right|$。分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，即 $|A| \cdot |D - CA^{-1}B|$。
公式：$\left| \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \right| = |A| \cdot |D|$
提示：分块上三角矩阵的行列式公式成立的前提是 $A$ 和 $D$ 是方阵，这里 $A$ 和 $D - CA^{-1}B$ 都是 $n$ 阶方阵。
步骤 4/6
目标：计算M的行列式
已知 $M = \begin{pmatrix} 0 & E \\ -E & 0 \end{pmatrix}$，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。利用分块矩阵行列式公式：$|M| = (-1)^n |E| \cdot |E| = (-1)^n$。
公式：$|M| = (-1)^n$
提示：注意公式：$\begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|$，其中 $A$ 是 $m \times n$，$B$ 是 $n \times m$。这里 $m=n$，所以 $(-1)^{n^2}$，但 $n^2$ 与 $n$ 奇偶性相同，故 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$。
步骤 5/6
目标：对条件等式取行列式
由 $G M G^T = M$，两边取行列式得 $|G| \cdot |M| \cdot |G^T| = |M|$。由于 $|G^T| = |G|$，且 $|M| \neq 0$，两边除以 $|M|$ 得 $|G|^2 = 1$，故 $|G| = \pm 1$。
公式：$|G|^2 = 1$
提示：注意 $|M| \neq 0$，因为 $(-1)^n \neq 0$。
步骤 6/6
目标：利用辛矩阵性质证明行列式为1
由 $G M G^T = M$ 可得 $G^T = M^{-1} G^{-1} M$，即 $G$ 与 $G^{-1}$ 相似，因此特征值成对互为倒数。若 $|G| = -1$，则特征值乘积为 $-1$，但成对特征值乘积为1，奇数个 $-1$ 无法配对，矛盾。故 $|G| = 1$。
公式：$G^T = M^{-1} G^{-1} M$
提示：注意 $M^{-1} = -M$，但这里不需要具体计算。关键在于相似性导致特征值成对出现。
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