📝 北京工业大学 2018年高等代数真题

七．（共25分）设 $\displaystyle G=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵。
（1）若 $A$ 可逆，证明 $G$ 的行列式 $\displaystyle |G|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|$ ；
（2）设 $E$ 是 $n$ 级单位矩阵。令 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}0 & E \\ -E & 0\end{array}\right)$ ，若矩阵 $G$ 满足 $\displaystyle G M G^{Y}=M$ ，证明 $G$ 的行列式等于 1 。

二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间；
（3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。

五．（共20 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{array}\right)$ ，
（1）求 $\displaystyle 5 \times 5$ 的秩为 2 的矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=0$ ；
（2）已知 $C$ 是满足 $\displaystyle A C=0$ 的 $\displaystyle 5 \times 5$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(C) \leq 2$ 。

六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明：
（1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。

四．（共 30 分）若䀇陏（满龪 $\displaystyle C^{2}=C$ ，称 $C$ 为幂等矩阵。证明
（1）$n$ 阶知阵（是委等矩阵的充要条件为 $\displaystyle r(C)+r(C-E)=n$ 。
（2）若 $A$ 足 $n$ 阶褁等矩阵，满足（a）$\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ；
（b）$\displaystyle r(A)=r\left(A_{1}\right)+r\left(A_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle A_{t}(i=1.2)$ 都是幂等矩阵。