北京工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明：
（1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立核子空间链
考虑线性变换 $\sigma$ 的幂次，得到核子空间链：$\ker(\sigma) \subseteq \ker(\sigma^2) \subseteq \cdots \subseteq \ker(\sigma^m) \subseteq \cdots$。由于 $V$ 是 $n$ 维的，子空间维数递增且不超过 $n$，因此存在 $k$ 使得维数达到最大。
公式：$\ker(\sigma) \subseteq \ker(\sigma^2) \subseteq \cdots$
提示：注意核子空间是递增的，因为若 $x \in \ker(\sigma^i)$，则 $\sigma^{i+1}(x)=\sigma(\sigma^i(x))=0$，所以 $x \in \ker(\sigma^{i+1})$。
步骤 2/6
目标：证明存在 $k$ 使得核子空间稳定
由于维数递增且有限，存在 $k$ 使得 $\dim\ker(\sigma^k) = \dim\ker(\sigma^{k+1})$。又因为 $\ker(\sigma^k) \subseteq \ker(\sigma^{k+1})$，所以 $\ker(\sigma^k) = \ker(\sigma^{k+1})$。进而对任意 $l > k$，由归纳可得 $\ker(\sigma^l) = \ker(\sigma^k)$。
公式：$\dim\ker(\sigma^k) = \dim\ker(\sigma^{k+1}) \Rightarrow \ker(\sigma^k) = \ker(\sigma^{k+1})$
提示：维数相等且包含关系推出相等，这是线性空间中的常用技巧。
步骤 3/6
目标：必要性：由秩相等推出核相等
设 $\operatorname{rank}(\sigma) = \operatorname{rank}(\sigma^2)$。由维数公式：$\dim V = \dim\ker(\sigma) + \dim\sigma(V) = \dim\ker(\sigma^2) + \dim\sigma^2(V)$。因为 $\operatorname{rank}(\sigma) = \operatorname{rank}(\sigma^2)$，所以 $\dim\ker(\sigma) = \dim\ker(\sigma^2)$。又 $\ker(\sigma) \subseteq \ker(\sigma^2)$，故 $\ker(\sigma) = \ker(\sigma^2)$。
公式：$\dim V = \dim\ker(\sigma) + \dim\sigma(V)$
提示：维数公式是线性变换的基本工具，注意 $\sigma^2(V) \subseteq \sigma(V)$。
步骤 4/6
目标：必要性：证明 $V = \sigma(V) + \ker(\sigma)$
由 $\operatorname{rank}(\sigma) = \operatorname{rank}(\sigma^2)$ 且 $\sigma^2(V) \subseteq \sigma(V)$，得 $\sigma(V) = \sigma^2(V)$。对任意 $v \in V$，存在 $u \in V$ 使得 $\sigma(v) = \sigma^2(u)$。于是 $\sigma(v - \sigma(u)) = \sigma(v) - \sigma^2(u) = 0$，即 $v - \sigma(u) \in \ker(\sigma)$。因此 $v = \sigma(u) + (v - \sigma(u)) \in \sigma(V) + \ker(\sigma)$，故 $V = \sigma(V) + \ker(\sigma)$。
公式：$\sigma(V) = \sigma^2(V)$
提示：注意 $\sigma(V) = \sigma^2(V)$ 是因为秩相等且包含关系，但需要说明 $\sigma^2(V) \subseteq \sigma(V)$ 总是成立。
步骤 5/6
目标：必要性：证明和是直和
取 $x \in \sigma(V) \cap \ker(\sigma)$，则存在 $y \in V$ 使得 $x = \sigma(y)$ 且 $\sigma(x)=0$。于是 $\sigma^2(y)=0$，即 $y \in \ker(\sigma^2) = \ker(\sigma)$，从而 $x = \sigma(y)=0$。因此 $\sigma(V) \cap \ker(\sigma) = \{0\}$，和是直和，即 $V = \sigma(V) \oplus \ker(\sigma)$。
公式：$\sigma(V) \cap \ker(\sigma) = \{0\}$
提示：直和的条件是交为 $\{0\}$，这里利用了 $\ker(\sigma^2) = \ker(\sigma)$。
步骤 6/6
目标：充分性：由直和推出秩相等
设 $V = \sigma(V) \oplus \ker(\sigma)$。考虑 $\sigma$ 在 $\sigma(V)$ 上的限制 $\sigma|_{\sigma(V)}$。若 $x \in \sigma(V)$ 且 $\sigma(x)=0$，则 $x \in \ker(\sigma)$，又 $x \in \sigma(V)$，由直和得 $x=0$，故 $\sigma|_{\sigma(V)}$ 是单射。因此 $\dim\sigma(V) = \dim\sigma(\sigma(V)) = \dim\sigma^2(V)$，即 $\operatorname{rank}(\sigma) = \operatorname{rank}(\sigma^2)$。
公式：$\dim\sigma(V) = \dim\sigma^2(V)$
提示：单射保证维数相等，注意 $\sigma(\sigma(V)) = \sigma^2(V)$。
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