北京工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间；
（3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征方程
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，则存在非零矩阵 $A$ 使得 $\sigma(A) = A^T = \lambda A$。
公式：$A^T = \lambda A$
提示：注意特征向量必须非零。
步骤 2/6
目标：推导特征值条件
对等式 $A^T = \lambda A$ 两边取转置，得 $(A^T)^T = A = \lambda A^T$。将 $A^T = \lambda A$ 代入，得 $A = \lambda (\lambda A) = \lambda^2 A$。由于 $A \neq 0$，所以 $\lambda^2 = 1$，即 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。
公式：$A = \lambda^2 A \Rightarrow \lambda^2 = 1$
提示：注意矩阵乘法与数乘的区别，这里 $\lambda$ 是数。
步骤 3/6
目标：求特征值1的特征子空间
当 $\lambda = 1$ 时，特征方程为 $A^T = A$，即 $A$ 为对称矩阵。因此特征子空间 $V_1 = \{A \in V \mid A^T = A\}$。对称矩阵的维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。
公式：$V_1 = \{A \mid A^T = A\}$
提示：对称矩阵的维数计算：主对角线上 $n$ 个元素，上三角部分 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素，共 $\frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 4/6
目标：求特征值-1的特征子空间
当 $\lambda = -1$ 时，特征方程为 $A^T = -A$，即 $A$ 为反对称矩阵。因此特征子空间 $V_{-1} = \{A \in V \mid A^T = -A\}$。反对称矩阵的维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。
公式：$V_{-1} = \{A \mid A^T = -A\}$
提示：反对称矩阵主对角线上元素为0，上三角部分 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素决定下三角，故维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。
步骤 5/6
目标：证明任意矩阵可分解为对称与反对称之和
对任意 $A \in V$，令 $A_1 = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$A_2 = \frac{1}{2}(A - A^T)$。则 $A_1^T = \frac{1}{2}(A^T + A) = A_1$，故 $A_1 \in V_1$；$A_2^T = \frac{1}{2}(A^T - A) = -A_2$，故 $A_2 \in V_{-1}$。且 $A = A_1 + A_2$。
公式：$A = \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 确保分解成立。
步骤 6/6
目标：证明直和分解
若 $A \in V_1 \cap V_{-1}$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，所以 $A = -A$，即 $A = 0$。因此 $V_1 \cap V_{-1} = \{0\}$。结合上一步，$V = V_1 + V_{-1}$，故 $V = V_1 \oplus V_{-1}$。
公式：$V_1 \cap V_{-1} = \{0\}$
提示：直和需要满足和空间等于全空间且交为零。
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