北京工业大学 2018年高等代数第0题

设 $C$ 是 $n$ 阶幂等矩阵，即 $C^2 = C$。则 $C$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且 $C$ 可对角化。设 $r(C) = r$，则 $C$ 有 $r$ 个特征值 $1$，$n-r$ 个特征值 $0$。那么 $C - E$ 的特征值为 $-1$（$r$ 个）和 $0$（$n-r$ 个），故 $r(C - E) = n - r$。因此 $r(C) + r(C - E) = r + (n - r) = n$。

设 $r(C) + r(C - E) = n$。考虑线性方程组 $Cx = 0$ 和 $(C - E)x = 0$。由于 $C(C - E) = C^2 - C = 0$，故 $C$ 的列空间包含在 $(C - E)$ 的零空间中，即 $\operatorname{Im} C \subseteq \ker(C - E)$。同理，$\operatorname{Im}(C - E) \subseteq \ker C$。于是 $\dim \operatorname{Im} C \leq \dim \ker(C - E)$，即 $r(C) \leq n - r(C - E)$，所以 $r(C) + r(C - E) \leq n$。已知等式成立，故 $r(C) = n - r(C - E)$，从而 $\operatorname{Im} C = \ker(C - E)$ 且 $\operatorname{Im}(C - E) = \ker C$。对任意 $x \in \mathbb{C}^n$，有 $Cx \in \operatorname{Im} C = \ker(C - E)$，故 $(C - E)Cx = 0$，即 $C^2 x = Cx$，所以 $C^2 = C$。

设 $A$ 是 $n$ 阶幂等矩阵，且 $A = A_1 + A_2$，$r(A) = r(A_1) + r(A_2)$。由 $A^2 = A$ 得 $A = A^2 = (A_1 + A_2)^2 = A_1^2 + A_1 A_2 + A_2 A_1 + A_2^2$。

考虑秩不等式：$r(A) = r(A_1 + A_2) \leq r(A_1) + r(A_2)$，已知等式成立，故 $\operatorname{Im} A_1 \cap \operatorname{Im} A_2 = \{0\}$ 且 $\operatorname{Im} A_1 + \operatorname{Im} A_2 = \operatorname{Im} A$。即 $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} A_1 \oplus \operatorname{Im} A_2$。

由于 $A$ 幂等，$\operatorname{Im} A$ 是 $A$ 的不变子空间，且 $A$ 在 $\operatorname{Im} A$ 上作用为恒等。对任意 $x \in \operatorname{Im} A_1$，有 $x = A x = A_1 x + A_2 x$。由于 $x \in \operatorname{Im} A_1$，且 $\operatorname{Im} A_1 \cap \operatorname{Im} A_2 = \{0\}$，得 $A_2 x = 0$，从而 $x = A_1 x$。故 $A_1$ 在 $\operatorname{Im} A_1$ 上作用为恒等。类似地，对任意 $y \in \operatorname{Im} A_2$，有 $A_1 y = 0$ 且 $y = A_2 y$。

现在证明 $A_1^2 = A_1$。对任意 $z \in \mathbb{C}^n$，$A_1 z \in \operatorname{Im} A_1$，由上述，$A_1 (A_1 z) = A_1 z$，即 $A_1^2 z = A_1 z$，故 $A_1^2 = A_1$。同理 $A_2^2 = A_2$。因此 $A_1$ 和 $A_2$ 都是幂等矩阵。