北京工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
五．（共20 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{array}\right)$ ，
（1）求 $\displaystyle 5 \times 5$ 的秩为 2 的矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=0$ ；
（2）已知 $C$ 是满足 $\displaystyle A C=0$ 的 $\displaystyle 5 \times 5$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(C) \leq 2$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析问题并确定解题方向
题目要求构造一个$5\times5$矩阵$B$，使得$AB=0$且$r(B)=2$。由矩阵乘法，$AB=0$等价于$B$的每一列都是齐次线性方程组$Ax=0$的解。因此，我们需要先求解$Ax=0$，得到解空间的一组基，然后构造$B$使其列向量由这些基向量线性组合而成，且秩为2。
公式：AB=0 \iff B的列向量\in \{x|Ax=0\}
提示：注意$B$必须是$5\times5$矩阵，且秩恰好为2，不能小于2。
步骤 2/6
目标：对矩阵A进行行变换，化为行最简形
对$A$进行初等行变换：
$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3\\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{pmatrix}$$
$r_2+r_1$，$r_3+2r_1$，$r_4-3r_1$得：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 5\\ 0 & -1 & -2 & -5 & -9\end{pmatrix}$$
$r_3-r_2$，$r_4+r_2$得：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -8\end{pmatrix}$$
$r_4+2r_3$得：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
$r_3/2$得：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
$r_1-2r_3$，$r_2-r_3$得：
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
最终得到行最简形。
提示：行变换过程中注意符号和倍数，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：确定矩阵A的秩和解空间维数
由行最简形可知，非零行有3行，所以$r(A)=3$。未知数个数$n=5$，故解空间维数$\dim\ker A = n - r(A) = 5-3=2$。
公式：\dim\ker A = n - r(A)
提示：解空间维数等于自由变量的个数，这里自由变量是$x_3$和$x_5$。
步骤 4/6
目标：求解齐次线性方程组的基础解系
由行最简形对应的方程组：
$$\begin{cases} x_1 - x_3 - 3x_5 = 0 \\ x_2 + 2x_3 - x_5 = 0 \\ x_4 + 2x_5 = 0 \end{cases}$$
取自由变量$x_3=1,x_5=0$，得$x_1=1,x_2=-2,x_4=0$，即$\alpha_1=(1,-2,1,0,0)^T$。
取$x_3=0,x_5=1$，得$x_1=3,x_2=1,x_4=-2$，即$\alpha_2=(3,1,0,-2,1)^T$。
故基础解系为$\alpha_1,\alpha_2$。
提示：自由变量的赋值要简单，通常取标准单位向量。注意解向量的顺序与变量对应。
步骤 5/6
目标：构造矩阵B，使其秩为2且满足AB=0
取$B$的列向量为$\alpha_1,\alpha_2$的线性组合，且$B$的秩为2。最简单的方式是令$B$的前两列分别为$\alpha_1$和$\alpha_2$，后三列全为零向量，即
$$B=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
则$AB=0$，且$r(B)=2$（因为前两列线性无关）。
提示：注意$B$必须是$5\times5$矩阵，且秩恰好为2。也可以取其他线性组合，但必须保证秩为2。
步骤 6/6
目标：证明满足AC=0的矩阵C的秩不超过2
已知$C$是$5\times5$矩阵且满足$AC=0$，则$C$的每一列都是$Ax=0$的解，即$C$的列空间包含于解空间$\ker A$。而$\ker A$的维数为2，所以$C$的列空间的维数$r(C)\leq 2$。
公式：r(C) = \dim\operatorname{Col}(C) \leq \dim\ker A = 2
提示：注意矩阵的秩等于列空间的维数，而列空间是解空间的子空间，因此秩不超过解空间维数。
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