北京工业大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
1．（20分）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\
1 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\
1 & x & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\
1 & x & x & 1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x & x & x & \cdots & 1
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：列变换化简行列式
对原行列式进行列变换：将第2列乘以-1加到第1列，第3列乘以-1加到第2列，...，第n列乘以-1加到第n-1列。得到新行列式：
\[
D_n = \begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 & -1 & \cdots & n \\
0 & -1 & -1 & -1 & \cdots & n-1 \\
0 & x-1 & -1 & -1 & \cdots & n-2 \\
0 & 0 & x-1 & -1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}.
\]
提示：注意列变换的顺序：从最后一列开始依次向前操作，避免混淆。
步骤 2/6
目标：按第一列展开
按第一列展开行列式，第一列只有第一个元素为-1，其余为0，因此展开得：
\[
D_n = (-1) \cdot \begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 & \cdots & n-1 \\
x-1 & -1 & -1 & \cdots & n-2 \\
0 & x-1 & -1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}.
\]
记此行列式为$D_{n-1}'$，则$D_n = -D_{n-1}'$。
公式：行列式按第一列展开公式
提示：展开时注意符号：元素位置为(1,1)，符号为(-1)^{1+1}=1，但元素本身为-1，所以整体为-1乘以余子式。
步骤 3/6
目标：对$D_{n-1}'$重复列变换
对$D_{n-1}'$进行相同的列变换：第2列乘以-1加到第1列，第3列乘以-1加到第2列，...，第n-1列乘以-1加到第n-2列。得到：
\[
D_{n-1}' = \begin{vmatrix}
0 & -1 & -1 & \cdots & n-1 \\
x-2 & -1 & -1 & \cdots & n-2 \\
0 & x-2 & -1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}.
\]
提示：注意变换后第一列出现x-2，与上一步的x-1不同。
步骤 4/6
目标：按第一列展开$D_{n-1}'$
按第一列展开，第一列只有第二个元素非零，为x-2，位置(2,1)，符号为(-1)^{2+1}=-1，因此：
\[
D_{n-1}' = (x-2) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix}
-1 & -1 & \cdots & n-2 \\
x-2 & -1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix} = -(x-2) \cdot D_{n-2}'',
\]
其中$D_{n-2}''$为余子式。于是$D_n = -D_{n-1}' = (x-2) \cdot D_{n-2}''$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：余子式前的符号由行标和列标决定，这里为(-1)^{2+1}=-1。
步骤 5/6
目标：归纳递推
重复上述过程，每次进行列变换并展开，每次会提取一个因子$(x-k)$，其中$k=2,3,\ldots,n-1$。经过$n-2$次后，得到：
\[
D_n = (x-2)(x-3)\cdots(x-(n-1)) \cdot \begin{vmatrix}
-1 & n-1 \\
0 & 1
\end{vmatrix}.
\]
计算最后这个2阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
-1 & n-1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = (-1)\cdot 1 - 0\cdot (n-1) = -1.
\]
因此，
\[
D_n = (x-2)(x-3)\cdots(x-n+1) \cdot (-1) = -\prod_{k=2}^{n-1}(x-k).
\]
公式：递推关系
提示：注意符号的累积：每次展开会引入一个负号，但最终结果为正，需仔细计算。
步骤 6/6
目标：检查符号并得出最终结果
回顾整个推导：第一次展开得$D_n = -D_{n-1}'$，第二次展开得$D_{n-1}' = -(x-2)D_{n-2}''$，所以$D_n = (x-2)D_{n-2}''$。后续每次展开都会引入一个负号，但最终与2阶行列式的-1相乘，得到正号。因此最终结果为：
\[
D_n = \prod_{k=2}^{n-1} (x - k) \quad (n \ge 3).
\]
对于$n=1$，$D_1=1$；$n=2$，$D_2=-1$。
提示：注意n=1,2时公式不适用，需单独验证。
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