📝 北京工业大学 2019年高等代数真题

1．（20分）计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\
1 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\
1 & x & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\
1 & x & x & 1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x & x & x & \cdots & 1
\end{array}\right| .
$$

2．（25 分）已知 3 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ k & -1 & k \\ 4 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且存在可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵。
（1）求 $k$ 的值．
（2）求矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角阵。
（3）求 $A^{m}(m \geq 2)$ ．

3．（25 分）$V=\left\{\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} \mid a_{i} \in \mathbb{R}\right\}, \sigma$ 为 $V$ 中的线性变换，对任意的 $g(x) \in V$ ，有 $\sigma(g(x))=g(x)+g^{\prime}(x)$ 。
（1）求 $\sigma$ 在基 $\displaystyle \left\{1, x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3!}, \cdots, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right\}$ 下的矩阵。
（2）求 $V$ 中所有 $\sigma$ 不变子空间的个数，并证明你的结论。

1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明：

$$
\left|\begin{array}{cc}
A & B \\
B^{\prime} & c
\end{array}\right| \leq c|A|
$$

等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。
（1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。
（2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

4．（20分）在线性空间 $V$ 中，有线性变换 $\sigma, \tau, \nu$ ．且 $\nu \tau-\tau \nu=\sigma$ ．证明：
（1）$\nu \tau^{k}-\tau^{k} \nu=k \tau^{k-1} \sigma$ ．
（2）存在正整数 $m$ ，使得 $\sigma^{m}=0$ ．