北京工业大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
3．（25 分）$V=\left\{\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} \mid a_{i} \in \mathbb{R}\right\}, \sigma$ 为 $V$ 中的线性变换，对任意的 $g(x) \in V$ ，有 $\sigma(g(x))=g(x)+g^{\prime}(x)$ 。
（1）求 $\sigma$ 在基 $\displaystyle \left\{1, x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3!}, \cdots, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right\}$ 下的矩阵。
（2）求 $V$ 中所有 $\sigma$ 不变子空间的个数，并证明你的结论。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确基向量及其导数关系
基为 $\varepsilon_0 = 1$, $\varepsilon_1 = x$, $\varepsilon_2 = \frac{x^2}{2}$, $\varepsilon_3 = \frac{x^3}{3!}$, $\dots$, $\varepsilon_{n-1} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$。计算导数：$\varepsilon_k' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^k}{k!}\right) = \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \varepsilon_{k-1}$（$k \geq 1$），$\varepsilon_0' = 0$。
公式：$\varepsilon_k' = \varepsilon_{k-1}$（$k \geq 1$）
提示：注意 $k=0$ 时导数为0，不要忘记。
步骤 2/6
目标：计算σ在每个基向量上的作用
由 $\sigma(g(x)) = g(x) + g'(x)$，得 $\sigma(\varepsilon_0) = \varepsilon_0 + 0 = \varepsilon_0$；对 $k \geq 1$，$\sigma(\varepsilon_k) = \varepsilon_k + \varepsilon_{k-1}$。
公式：$\sigma(\varepsilon_k) = \varepsilon_k + \varepsilon_{k-1}$
提示：注意 $\varepsilon_{k-1}$ 是基向量，不要混淆。
步骤 3/6
目标：写出σ在基下的矩阵
矩阵 $A$ 的第 $k$ 列是 $\sigma(\varepsilon_{k-1})$ 在基下的坐标（下标从0开始）。$\sigma(\varepsilon_0)$ 的坐标为 $(1,0,\dots,0)^T$，$\sigma(\varepsilon_k)$ 的坐标为第 $k$ 个分量为1，第 $k-1$ 个分量为1，其余为0。因此 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，主对角线全为1，次对角线全为1，其余为0。
公式：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{n \times n}$
提示：注意矩阵的列顺序对应基的顺序，不要写反。
步骤 4/6
目标：分析σ的极小多项式和特征值
矩阵 $A$ 是特征值1的 $n$ 阶Jordan块，其极小多项式为 $(\lambda-1)^n$，特征值只有1，几何重数为1。
公式：$(\lambda-1)^n$
提示：Jordan块的几何重数等于特征值对应的线性无关特征向量个数，这里为1。
步骤 5/6
目标：确定σ的不变子空间结构
由于 $\sigma-1$ 是幂零指数为 $n$ 的幂零变换，其不变子空间由循环子空间链给出：$\{0\} \subset \ker(\sigma-1) \subset \ker(\sigma-1)^2 \subset \cdots \subset \ker(\sigma-1)^n = V$。每个核的维数等于指数 $k$，且这些子空间都是 $\sigma$ 不变的。
公式：$\ker(\sigma-1)^k = \text{span}\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{k-1}\}$
提示：注意 $\ker(\sigma-1)^k$ 的维数就是 $k$，且这些子空间是唯一的。
步骤 6/6
目标：计算不变子空间的个数
从 $\{0\}$ 到 $V$ 共有 $n+1$ 个不同的子空间：$\{0\}$，$\text{span}\{\varepsilon_0\}$，$\text{span}\{\varepsilon_0, \varepsilon_1\}$，$\dots$，$\text{span}\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{n-1}\}=V$。因此个数为 $n+1$。
公式：个数 = $n+1$
提示：不要遗漏零子空间和全空间。
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