北京工业大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的秩与伴随矩阵的关系
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$n \geq 2$。由于 $A$ 不可逆，则 $\operatorname{rank}(A) < n$。根据秩的不同，分两种情况讨论。
提示：注意 $n \geq 2$，因为一阶矩阵的伴随矩阵定义不同。
步骤 2/6
目标：情况1：rank(A) ≤ n-2
若 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$，则 $A$ 的所有 $(n-1)$ 阶子式均为0，故 $A^{*} = 0$（零矩阵）。此时 $kE + A^{*} = kE$，该矩阵不可逆当且仅当 $k=0$。因此只有一个 $k$ 使得 $kE + A^{*}$ 不可逆。
公式：$A^{*} = 0$
提示：注意 $A^{*}$ 的元素是 $A$ 的 $(n-1)$ 阶子式，当秩小于 $n-1$ 时所有子式为0。
步骤 3/6
目标：情况2：rank(A) = n-1
若 $\operatorname{rank}(A) = n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^{*}) = 1$。设 $A^{*}$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，由于秩为1，非零特征值至多一个，且 $\operatorname{tr}(A^{*}) = \sum \lambda_i$ 等于该非零特征值（若存在），其余特征值为0。不妨设 $\lambda_1 = \operatorname{tr}(A^{*})$，$\lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$。
公式：$\operatorname{rank}(A^{*}) = 1$
提示：秩为1的矩阵非零特征值个数不超过1，且迹等于非零特征值。
步骤 4/6
目标：推导kE+A*的特征值
矩阵 $kE + A^{*}$ 的特征值为 $k + \lambda_i$，其中 $i=1,\dots,n$。该矩阵不可逆当且仅当存在某个 $i$ 使得 $k + \lambda_i = 0$，即 $k = -\lambda_i$。
公式：$\det(kE + A^{*}) = \prod_{i=1}^n (k + \lambda_i)$
提示：注意特征值的平移性质：$kE + A^{*}$ 的特征值是 $A^{*}$ 的特征值加 $k$。
步骤 5/6
目标：确定k的可能取值个数
由于 $A^{*}$ 的非零特征值至多一个，因此 $\lambda_i$ 中至多一个非零，其余均为0。所以 $k$ 的可能取值为 $k = -\lambda_1$（若 $\lambda_1 \neq 0$）和 $k = 0$（对应零特征值）。注意 $k=0$ 可能已经包含在 $k=-\lambda_1$ 中（若 $\lambda_1=0$），但此时 $A^{*}=0$ 属于情况1。在情况2中，$\lambda_1 \neq 0$，因此 $k$ 有两个可能值：$k=0$ 和 $k=-\lambda_1$。
提示：注意 $k=0$ 总是使 $kE + A^{*}$ 不可逆吗？不一定，但这里因为 $A^{*}$ 有零特征值，所以 $k=0$ 对应零特征值，故不可逆。
步骤 6/6
目标：综合结论
综合两种情况：情况1中只有一个 $k$（$k=0$），情况2中至多两个 $k$（$k=0$ 和 $k=-\lambda_1$）。因此，使 $kE + A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个。
提示：注意 $k$ 是复数，所以 $k=0$ 和 $k=-\lambda_1$ 都是复数。
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