北京工业大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。
（1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。
（2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明正交性
对任意 $\alpha, \beta \in V$，计算内积 $(\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\beta))$：
\[
(\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\beta)) = (\alpha - 2(\eta,\alpha)\eta, \beta - 2(\eta,\beta)\eta) = (\alpha,\beta) - 2(\eta,\beta)(\alpha,\eta) - 2(\eta,\alpha)(\eta,\beta) + 4(\eta,\alpha)(\eta,\beta)(\eta,\eta)
\]
由于 $(\eta,\eta)=1$，得
\[
(\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\beta)) = (\alpha,\beta) - 2(\eta,\beta)(\alpha,\eta) - 2(\eta,\alpha)(\eta,\beta) + 4(\eta,\alpha)(\eta,\beta) = (\alpha,\beta)
\]
故 $\mathscr{A}$ 保持内积，是正交变换。
公式：$(\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\beta)) = (\alpha,\beta)$
提示：注意展开内积时每一项的系数，特别是交叉项要乘以2。
步骤 2/7
目标：构造标准正交基
取 $\eta$ 为第一个基向量，再取 $n-1$ 个与 $\eta$ 正交的单位向量 $\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n$，使得 $\{\eta, \varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\}$ 成为 $V$ 的一组标准正交基。
提示：确保每个 $\varepsilon_i$ 与 $\eta$ 正交且长度为1。
步骤 3/7
目标：计算变换在基上的作用
计算 $\mathscr{A}$ 在基向量上的作用：
\[
\mathscr{A}(\eta) = \eta - 2(\eta,\eta)\eta = \eta - 2\eta = -\eta
\]
\[
\mathscr{A}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i - 2(\eta,\varepsilon_i)\eta = \varepsilon_i, \quad i=2,\dots,n
\]
公式：$\mathscr{A}(\eta) = -\eta$, $\mathscr{A}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i$
提示：注意 $\eta$ 是单位向量，$\eta$ 与 $\varepsilon_i$ 正交。
步骤 4/7
目标：写出矩阵表示
在该标准正交基下，$\mathscr{A}$ 的矩阵为对角矩阵：
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\]
公式：$\operatorname{diag}(-1,1,\dots,1)$
提示：注意第一列对应 $\eta$ 的像，其余列对应 $\varepsilon_i$ 的像。
步骤 5/7
目标：构造满足条件的标准正交基
设 $\mathscr{A}$ 是正交变换，特征值1的特征子空间 $V_1$ 维数为 $n-1$。取 $V_1$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n$，再取单位向量 $\eta$ 与 $V_1$ 正交（即 $\eta \perp V_1$，$\|\eta\|=1$），则 $\{\eta, \varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\}$ 构成 $V$ 的标准正交基。
提示：注意 $\eta$ 的存在性：由于 $V_1$ 是 $n-1$ 维，其正交补是1维，故存在单位向量 $\eta$。
步骤 6/7
目标：确定 $\eta$ 的像
由于 $\mathscr{A}$ 是正交变换，$\mathscr{A}(\eta)$ 是单位向量且与 $V_1$ 正交（因为对任意 $v \in V_1$，$(\mathscr{A}(\eta), v) = (\eta, \mathscr{A}^{-1}(v)) = (\eta, v)=0$，因为 $\mathscr{A}^{-1}$ 也保持 $V_1$），故 $\mathscr{A}(\eta) = \pm \eta$。若 $\mathscr{A}(\eta)=\eta$，则 $\eta \in V_1$，与 $\eta \perp V_1$ 矛盾，故 $\mathscr{A}(\eta) = -\eta$。
公式：$\mathscr{A}(\eta) = -\eta$
提示：注意正交变换保持正交性，且 $\mathscr{A}^{-1}$ 也保持 $V_1$。
步骤 7/7
目标：推导镜面反射公式
对任意 $\alpha \in V$，可写 $\alpha = (\eta,\alpha)\eta + \alpha_0$，其中 $\alpha_0 \in V_1$。则
\[
\mathscr{A}(\alpha) = (\eta,\alpha)\mathscr{A}(\eta) + \mathscr{A}(\alpha_0) = -(\eta,\alpha)\eta + \alpha_0 = \alpha - 2(\eta,\alpha)\eta
\]
这正是镜面反射的定义。
公式：$\mathscr{A}(\alpha) = \alpha - 2(\eta,\alpha)\eta$
提示：注意 $\alpha_0$ 在 $V_1$ 中，故 $\mathscr{A}(\alpha_0)=\alpha_0$。
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