北京工业大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明：
$$
\left|\begin{array}{cc}
A & B \\
B^{\prime} & c
\end{array}\right| \leq c|A|
$$
等号成立时当且仅当 $B=O$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定性推出A正定且c>0
由于矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ B' & c \end{pmatrix}$ 正定，则其所有顺序主子式大于0。特别地，$A$ 作为左上角 $n$ 阶主子矩阵，也是正定的，故 $|A|>0$。同时，矩阵的最后一个对角元 $c>0$。
提示：正定矩阵的任意主子矩阵也是正定的，但需注意此处A是左上角n阶子块。
步骤 2/5
目标：写出分块矩阵的行列式公式
对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ B' & c \end{pmatrix}$，其中 $A$ 可逆，有行列式公式：
$$
\begin{vmatrix} A & B \\ B' & c \end{vmatrix} = |A| \cdot (c - B' A^{-1} B).
$$
该公式可通过Schur补得到。
公式：$\begin{vmatrix} A & B \\ B' & c \end{vmatrix} = |A| \cdot (c - B' A^{-1} B)$
提示：注意公式中 $B' A^{-1} B$ 是一个数（标量），因为 $B$ 是 $n \times 1$ 矩阵。
步骤 3/5
目标：利用A正定得到B'A^{-1}B非负
由于 $A$ 正定，$A^{-1}$ 也是正定矩阵。对于任意非零向量 $x$，有 $x' A^{-1} x > 0$。特别地，取 $x = B$，则 $B' A^{-1} B \geq 0$，且等号成立当且仅当 $B = 0$。
提示：正定矩阵的逆矩阵也是正定的，且二次型 $x' A^{-1} x \geq 0$，等号仅当 $x=0$。
步骤 4/5
目标：推导不等式
由 $B' A^{-1} B \geq 0$ 得 $c - B' A^{-1} B \leq c$。两边乘以正数 $|A|$ 得：
$$
|A| (c - B' A^{-1} B) \leq c |A|.
$$
代入行列式公式即得：
$$
\begin{vmatrix} A & B \\ B' & c \end{vmatrix} \leq c |A|.
$$
提示：注意 $|A|>0$，所以不等号方向不变。
步骤 5/5
目标：讨论等号成立条件
等号成立当且仅当 $c - B' A^{-1} B = c$，即 $B' A^{-1} B = 0$。由于 $A^{-1}$ 正定，$B' A^{-1} B = 0$ 当且仅当 $B = 0$（零向量）。因此等号成立当且仅当 $B = O$。
提示：注意 $B$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$B=O$ 表示所有元素为零。
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