北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
3．求 $A_{n}$ 的行列式 $\left|A_{n}\right|$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出矩阵和行列式
设 $A_n$ 为 $n$ 阶矩阵，其元素为 $a_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 2, & i \neq j \end{cases}$。则行列式为
$$|A_n| = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
2 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\
2 & 2 & 1 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
2 & 2 & 2 & \cdots & 1
\end{vmatrix}_{n \times n}.$$
提示：注意矩阵元素定义：对角元为1，非对角元为2。
步骤 2/8
目标：行和相等法：将各行加到第一行
将第2至第n行加到第1行，得
$$|A_n| = \begin{vmatrix}
1+2(n-1) & 1+2(n-1) & \cdots & 1+2(n-1) \\
2 & 1 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
2 & 2 & \cdots & 1
\end{vmatrix} = (2n-1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 1 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
2 & 2 & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式不变。
提示：注意提取公因子时，第一行每个元素都含有因子(2n-1)，所以提取后第一行全为1。
步骤 3/8
目标：行和相等法：消去第一列下方元素
将第1行乘以-2加到其余各行，得
$$|A_n| = (2n-1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & -1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式不变。
提示：注意：第一行乘以-2加到第二行时，第二行第一列变为0，第二列变为1-2=-1，其余列类似。
步骤 4/8
目标：行和相等法：计算上三角行列式
此时行列式为上三角形式，对角元为1和(n-1)个-1，所以
$$|A_n| = (2n-1) \cdot 1 \cdot (-1)^{n-1} = (2n-1)(-1)^{n-1}.$$
公式：上三角行列式等于对角元乘积。
提示：注意(-1)的指数是n-1，因为共有n-1个-1。
步骤 5/8
目标：特征值法：将矩阵表示为已知矩阵的组合
矩阵 $A_n$ 可写为 $A_n = 2J_n - I_n$，其中 $J_n$ 为全1矩阵，$I_n$ 为单位矩阵。因为 $2J_n$ 的对角元为2，减去 $I_n$ 得对角元1，非对角元2。
公式：$A_n = 2J_n - I_n$
提示：注意 $J_n$ 是元素全为1的矩阵，不是单位矩阵。
步骤 6/8
目标：特征值法：求 $J_n$ 的特征值
$J_n$ 的特征值为 $n$（单重）和 $0$（$n-1$重）。因为 $J_n$ 的秩为1，迹为n，所以特征值一个为n，其余为0。
公式：$J_n$ 的特征值：$\lambda_1=n$，$\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$
提示：注意：$J_n$ 是实对称矩阵，可对角化。
步骤 7/8
目标：特征值法：求 $A_n$ 的特征值
由 $A_n = 2J_n - I_n$，若 $J_n$ 的特征值为 $\lambda$，则 $A_n$ 的特征值为 $2\lambda - 1$。所以 $A_n$ 的特征值为 $2n-1$（单重）和 $-1$（$n-1$重）。
公式：若 $\lambda$ 是 $J_n$ 的特征值，则 $2\lambda-1$ 是 $A_n$ 的特征值。
提示：注意：特征值变换时，对应特征向量不变。
步骤 8/8
目标：特征值法：计算行列式
行列式等于所有特征值的乘积，所以
$$|A_n| = (2n-1) \cdot (-1)^{n-1} = (2n-1)(-1)^{n-1}.$$
公式：行列式等于特征值之积。
提示：注意：特征值有重数，乘积时要考虑重数。
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