📝 北京工业大学 2020年高等代数真题

1．$\tau$ 是 $V$ 上的线性变换．

2．$\tau$ 为 $V$ 上的一个对称变换．

3．$\tau$ 为 $V$ 上的正交变换的充要条件是 $\displaystyle k=-\frac{2}{\left(X_{0}, X_{0}\right)}$ ．

1．求 $\beta$ 的值．

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

1．设矩阵 $A=A_{m \times n}, B=B_{n \times m}(m \leq n)$ ，证明：$\left|\lambda E_{n}-B A\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-A B\right|$ ．

2．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)_{2 \times n}$ ，其中 $n \geq 2$ ，且 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}=1, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=n$ ，令 $B=A^{\prime} A-E$ ，求 $B$的全部特征值及 $B$ 的行列式 $|B|$ ．

1．证明：对任意的 $n \geq 1, A_{n}^{2}=n E$ ．
2 ．求 $A_{n}$ 的所有特征值．

3．求 $A_{n}$ 的行列式 $\left|A_{n}\right|$ 的值．