北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2．$\tau$ 为 $V$ 上的一个对称变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义对称变换
设 $V$ 是欧几里得空间，$\tau: V \to V$ 是一个线性变换。$\tau$ 称为对称变换，如果对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\tau(\alpha), \beta) = (\alpha, \tau(\beta))$。
公式：(\tau(\alpha), \beta) = (\alpha, \tau(\beta))
提示：注意对称变换的定义要求内积相等，这是后续推导的基础。
步骤 2/5
目标：证明特征值为实数
设 $\lambda$ 是 $\tau$ 的特征值，$\alpha$ 是对应的特征向量，则 $\tau(\alpha) = \lambda \alpha$。于是
\[
\lambda (\alpha, \alpha) = (\lambda \alpha, \alpha) = (\tau(\alpha), \alpha) = (\alpha, \tau(\alpha)) = (\alpha, \lambda \alpha) = \overline{\lambda} (\alpha, \alpha).
\]
由于 $(\alpha, \alpha) > 0$，得 $\lambda = \overline{\lambda}$，即 $\lambda$ 为实数。
公式：\lambda (\alpha, \alpha) = \overline{\lambda} (\alpha, \alpha)
提示：注意内积的共轭对称性：$(\alpha, \lambda \alpha) = \overline{\lambda} (\alpha, \alpha)$。
步骤 3/5
目标：证明不同特征值对应的特征向量正交
设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 是 $\tau$ 的特征值，$\alpha_1, \alpha_2$ 是对应的特征向量。则
\[
\lambda_1 (\alpha_1, \alpha_2) = (\tau(\alpha_1), \alpha_2) = (\alpha_1, \tau(\alpha_2)) = \lambda_2 (\alpha_1, \alpha_2).
\]
由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，得 $(\alpha_1, \alpha_2) = 0$。
公式：\lambda_1 (\alpha_1, \alpha_2) = \lambda_2 (\alpha_1, \alpha_2)
提示：注意利用对称变换的定义将内积中的 $\tau$ 转移。
步骤 4/5
目标：证明可正交对角化
对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵。因此，存在标准正交基使得 $\tau$ 的矩阵为对角矩阵。
公式：Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)
提示：正交对角化要求基是标准正交的，且变换矩阵对称。
步骤 5/5
目标：总结对称变换的性质
对称变换具有以下性质：
1. 特征值全为实数；
2. 不同特征值对应的特征向量正交；
3. 可正交对角化。
提示：这些性质是线性代数中对称变换的核心结论。
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