北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1．$\tau$ 是 $V$ 上的线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知 $\tau$ 是 $V$ 上的线性变换，且满足 $\tau^2 = \tau$。需要证明 $\tau$ 是投影变换，即存在子空间 $U$ 和 $W$ 使得 $V = U \oplus W$，且 $\tau$ 是到 $U$ 的投影。
公式：$\tau^2 = \tau$
提示：注意投影变换的定义：$\tau$ 是幂等的线性变换。
步骤 2/7
目标：定义子空间 $U$ 和 $W$
令 $U = \operatorname{Im}(\tau)$，即 $\tau$ 的像空间；令 $W = \operatorname{Ker}(\tau)$，即 $\tau$ 的核空间。
公式：$U = \{\tau(v) \mid v \in V\}$, $W = \{v \in V \mid \tau(v)=0\}$
提示：注意 $U$ 和 $W$ 都是 $V$ 的子空间。
步骤 3/7
目标：证明 $U \cap W = \{0\}$
任取 $v \in U \cap W$，则 $v \in U$ 且 $v \in W$。由 $v \in U$ 知存在 $u \in V$ 使得 $v = \tau(u)$。由 $v \in W$ 知 $\tau(v)=0$。于是 $0 = \tau(v) = \tau(\tau(u)) = \tau^2(u) = \tau(u) = v$，故 $v=0$。因此 $U \cap W = \{0\}$。
公式：$\tau^2 = \tau$
提示：注意利用幂等性将 $\tau(v)$ 化为 $v$。
步骤 4/7
目标：证明 $V = U + W$
任取 $v \in V$，令 $u = \tau(v)$，则 $u \in U$。令 $w = v - \tau(v)$，则 $\tau(w) = \tau(v - \tau(v)) = \tau(v) - \tau^2(v) = \tau(v) - \tau(v) = 0$，故 $w \in W$。于是 $v = u + w$，其中 $u \in U$, $w \in W$。因此 $V = U + W$。
公式：$w = v - \tau(v)$
提示：注意构造 $w$ 并验证其属于 $W$。
步骤 5/7
目标：得出直和分解
由 $U \cap W = \{0\}$ 和 $V = U + W$ 得 $V = U \oplus W$。
提示：直和分解要求子空间交为零且和为全空间。
步骤 6/7
目标：验证 $\tau$ 是到 $U$ 的投影
对于任意 $v \in V$，分解 $v = u + w$，其中 $u \in U$, $w \in W$。则 $\tau(v) = \tau(u) + \tau(w)$。由于 $w \in W = \operatorname{Ker}(\tau)$，有 $\tau(w)=0$。又因为 $u \in U = \operatorname{Im}(\tau)$，存在 $x \in V$ 使得 $u = \tau(x)$，于是 $\tau(u) = \tau(\tau(x)) = \tau^2(x) = \tau(x) = u$。因此 $\tau(v) = u$，即 $\tau$ 将 $v$ 映到其在 $U$ 上的分量，故 $\tau$ 是到 $U$ 的投影变换。
公式：$\tau(u)=u$ 对 $u \in U$
提示：注意验证 $\tau$ 在 $U$ 上为恒等映射，在 $W$ 上为零映射。
步骤 7/7
目标：总结
因此，满足 $\tau^2 = \tau$ 的线性变换 $\tau$ 是投影变换，其像空间和核空间构成 $V$ 的直和分解。
提示：投影变换也称为幂等变换。
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