北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)_{2 \times n}$ ，其中 $n \geq 2$ ，且 $\sum_{i=1}^{n} a_{i}=1, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=n$ ，令 $B=A^{\prime} A-E$ ，求 $B$的全部特征值及 $B$ 的行列式 $|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算矩阵 A'A
给定 $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{2 \times n}$，则 $A'$ 是 $n \times 2$ 矩阵。计算 $A'A$：
$$A'A = \begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2+1 \end{pmatrix}.$$
公式：$A'A$ 的元素为 $(A'A)_{ij} = a_i a_j + 1$
提示：注意矩阵乘法的顺序：$A'$ 是 $n \times 2$，$A$ 是 $2 \times n$，结果 $A'A$ 是 $n \times n$。
步骤 2/7
目标：定义矩阵 B 并分析其结构
由 $B = A'A - E$，得 $B$ 的元素为 $b_{ij} = a_i a_j + 1 - \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta。即 $B$ 的对角线元素为 $a_i^2$，非对角线元素为 $a_i a_j + 1$。
公式：$B = A'A - E$
提示：注意 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，其对角线元素为1，非对角线为0。
步骤 3/7
目标：确定 B 的特征值中来自零特征值的部分
矩阵 $A'A$ 的秩不超过2，因为 $A$ 是 $2 \times n$ 矩阵。因此 $A'A$ 至少有 $n-2$ 个零特征值。由于 $B = A'A - E$，这些零特征值对应 $B$ 的特征值 $-1$。所以 $B$ 有 $n-2$ 个特征值为 $-1$。
公式：若 $\lambda$ 是 $A'A$ 的特征值，则 $\lambda-1$ 是 $B$ 的特征值。
提示：注意：$A'A$ 是实对称矩阵，可对角化，特征值重数等于几何重数。
步骤 4/7
目标：计算 AA' 以求得 A'A 的非零特征值
由于 $A'A$ 与 $AA'$ 有相同的非零特征值，计算 $AA'$：
$$AA' = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum a_i^2 & \sum a_i \\ \sum a_i & n \end{pmatrix}.$$
利用已知条件 $\sum a_i = 1$，$\sum a_i^2 = n$，得
$$AA' = \begin{pmatrix} n & 1 \\ 1 & n \end{pmatrix}.$$
公式：$AA'$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，非零特征值相同。
提示：注意 $AA'$ 的尺寸是 $2 \times 2$，计算时不要混淆。
步骤 5/7
目标：求 AA' 的特征值
求 $AA'$ 的特征值：特征多项式为
$$\det\begin{pmatrix} n-\lambda & 1 \\ 1 & n-\lambda \end{pmatrix} = (n-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 2n\lambda + (n^2-1).$$
解得 $\lambda = n \pm 1$。因此 $AA'$ 的特征值为 $n+1$ 和 $n-1$。
公式：$\det(AA' - \lambda I) = 0$
提示：解二次方程时注意符号，$\lambda = n \pm 1$。
步骤 6/7
目标：得到 B 的全部特征值
由 $A'A$ 的非零特征值为 $n+1$ 和 $n-1$，对应 $B$ 的特征值为 $(n+1)-1 = n$ 和 $(n-1)-1 = n-2$。加上 $n-2$ 个 $-1$，得 $B$ 的全部特征值为：$\lambda_1 = n$（单重），$\lambda_2 = n-2$（单重），$\lambda_3 = \cdots = \lambda_n = -1$（$n-2$ 重）。
公式：$B$ 的特征值 = $A'A$ 的特征值减1
提示：注意特征值的重数：$n$ 和 $n-2$ 各一重，$-1$ 有 $n-2$ 重。
步骤 7/7
目标：计算 B 的行列式
行列式等于所有特征值的乘积：
$$|B| = n \cdot (n-2) \cdot (-1)^{n-2} = n(n-2)(-1)^{n-2}.$$
当 $n=2$ 时，$n-2=0$，所以 $|B|=0$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意 $(-1)^{n-2}$ 的符号，当 $n$ 为奇数时结果为负，偶数时为正。
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