北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1．设矩阵 $A=A_{m \times n}, B=B_{n \times m}(m \leq n)$ ，证明：$\left|\lambda E_{n}-B A\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-A B\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造分块矩阵
构造 $(m+n)\times(m+n)$ 分块矩阵 $\begin{pmatrix} \lambda E_m & A \\ B & E_n \end{pmatrix}$，其中 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，$E_m$ 和 $E_n$ 为单位矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：左上角为 $m\times m$，右上角为 $m\times n$，左下角为 $n\times m$，右下角为 $n\times n$。
步骤 2/7
目标：利用行变换计算行列式（方法一）
假设 $\lambda \neq 0$，对矩阵进行行变换：将第一行乘以 $B(\lambda E_m)^{-1}$ 并从第二行减去，即 $R_2 \leftarrow R_2 - B(\lambda E_m)^{-1}R_1$，得到 $\begin{pmatrix} \lambda E_m & A \\ 0 & E_n - \frac{1}{\lambda}BA \end{pmatrix}$。行列式为 $\det(\lambda E_m) \cdot \det\left(E_n - \frac{1}{\lambda}BA\right) = \lambda^m \det\left(E_n - \frac{1}{\lambda}BA\right)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} P & Q \\ 0 & R \end{pmatrix} = \det(P)\det(R)$
提示：行变换不改变行列式值，但注意变换是左乘初等矩阵，此处为行变换，行列式不变。
步骤 3/7
目标：化简行列式表达式
由于 $\det\left(E_n - \frac{1}{\lambda}BA\right) = \frac{1}{\lambda^n}\det(\lambda E_n - BA)$，代入得 $\det\begin{pmatrix} \lambda E_m & A \\ B & E_n \end{pmatrix} = \lambda^m \cdot \frac{1}{\lambda^n} \det(\lambda E_n - BA) = \lambda^{m-n} \det(\lambda E_n - BA)$。
公式：$\det(cM) = c^n \det(M)$ 对 $n\times n$ 矩阵 $M$ 成立
提示：注意 $\lambda$ 是标量，$E_n - \frac{1}{\lambda}BA$ 是 $n\times n$ 矩阵，提取因子 $\frac{1}{\lambda}$ 时要乘 $n$ 次方。
步骤 4/7
目标：利用列变换计算行列式（方法二）
对矩阵进行列变换：将第一列乘以 $A(\lambda E_m)^{-1}$ 并从第二列减去，即 $C_2 \leftarrow C_2 - A(\lambda E_m)^{-1}C_1$，得到 $\begin{pmatrix} \lambda E_m & 0 \\ B & E_n - \frac{1}{\lambda}BA \end{pmatrix}$。行列式为 $\det(\lambda E_m) \cdot \det\left(E_n - \frac{1}{\lambda}BA\right) = \lambda^m \det\left(E_n - \frac{1}{\lambda}BA\right)$，与之前相同。
公式：$\det\begin{pmatrix} P & 0 \\ Q & R \end{pmatrix} = \det(P)\det(R)$
提示：列变换也不改变行列式值，注意变换方向。
步骤 5/7
目标：利用分块行列式公式直接计算
另一种方法：利用公式 $\det\begin{pmatrix} \lambda E_m & A \\ B & E_n \end{pmatrix} = \det(\lambda E_m - A E_n^{-1} B) \det(E_n) = \det(\lambda E_m - AB)$，因为 $E_n$ 可逆。该等式对任意 $\lambda$ 成立（多项式恒等）。
公式：$\det\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \det(P - Q S^{-1} R) \det(S)$ 当 $S$ 可逆
提示：注意 $E_n$ 可逆，且 $A E_n^{-1} B = AB$。
步骤 6/7
目标：联立等式并整理
由方法一和方法二得到 $\det(\lambda E_m - AB) = \lambda^{m-n} \det(\lambda E_n - BA)$。两边乘以 $\lambda^{n-m}$ 得 $\lambda^{n-m} \det(\lambda E_m - AB) = \det(\lambda E_n - BA)$，即 $|\lambda E_n - BA| = \lambda^{n-m} |\lambda E_m - AB|$。
提示：注意 $\lambda^{m-n}$ 与 $\lambda^{n-m}$ 互为倒数，乘到左边时指数变号。
步骤 7/7
目标：处理 $\lambda=0$ 的情况
当 $\lambda=0$ 时，等式两边均为多项式，由多项式恒等定理，该等式对一切 $\lambda$ 成立。因此结论对所有 $\lambda$ 成立。
提示：多项式恒等定理：若两个多项式在无穷多个点相等，则它们恒等。这里在 $\lambda \neq 0$ 时成立，故在 $\lambda=0$ 也成立。
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