北京工业大学 2020年高等代数第0题

题目要求求 $\beta$ 的值，但未提供任何具体条件。通常，$\beta$ 可能是一个向量、矩阵或方程中的未知参数。需要补充完整题目信息，例如向量方程 $A\beta = b$ 或矩阵特征值问题等。

假设题目是线性方程组求解：给定矩阵 $A$ 和向量 $b$，求 $\beta$ 使得 $A\beta = b$。则需使用高斯消元法或矩阵求逆。

将增广矩阵 $[A|b]$ 化为行阶梯形。例如，若 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$b = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$，则增广矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{pmatrix}$。通过行变换：$R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -9 \end{pmatrix}$。

由行阶梯形得方程组：$x_1 + 2x_2 = 5$，$-2x_2 = -9$。解得 $x_2 = \frac{9}{2}$，代入得 $x_1 = 5 - 2 \times \frac{9}{2} = -4$。因此 $\beta = \begin{pmatrix} -4 \\ \frac{9}{2} \end{pmatrix}$。

将 $\beta$ 代入原方程验证：$A\beta = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 9/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 9 \\ -12 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = b$，正确。