北京工业大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
3．$\tau$ 为 $V$ 上的正交变换的充要条件是 $\displaystyle k=-\frac{2}{\left(X_{0}, X_{0}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确题目条件与目标
题目中给出 $\tau$ 是 $V$ 上的线性变换，且涉及参数 $k$ 和向量 $X_0$。通常正交变换的充要条件是保持内积，但这里需要结合反射变换的特定形式。假设 $\tau$ 是关于超平面的反射：$\tau(x) = x - 2\frac{(x, X_0)}{(X_0, X_0)} X_0$，其中 $X_0 \neq 0$。则 $\tau$ 是正交变换当且仅当 $k = -\frac{2}{(X_0, X_0)}$。
提示：注意题目可能省略了变换的具体形式，需要从上下文推断。
步骤 2/5
目标：写出反射变换的标准形式
反射变换的标准形式为：$\tau(x) = x - 2\frac{(x, X_0)}{(X_0, X_0)} X_0$。这里系数 $k = -\frac{2}{(X_0, X_0)}$。
公式：$\tau(x) = x + k (x, X_0) X_0$ 且 $k = -\frac{2}{(X_0, X_0)}$
提示：注意 $k$ 是标量，与向量 $X_0$ 有关。
步骤 3/5
目标：验证反射变换保持内积（充分性）
计算 $(\tau(x), \tau(y))$：
\begin{align*}
(\tau(x), \tau(y)) &= \left(x - 2\frac{(x, X_0)}{(X_0, X_0)} X_0,\; y - 2\frac{(y, X_0)}{(X_0, X_0)} X_0\right) \\
&= (x,y) - 2\frac{(x,X_0)(X_0,y)}{(X_0,X_0)} - 2\frac{(y,X_0)(x,X_0)}{(X_0,X_0)} + 4\frac{(x,X_0)(y,X_0)}{(X_0,X_0)^2}(X_0,X_0) \\
&= (x,y) - 4\frac{(x,X_0)(y,X_0)}{(X_0,X_0)} + 4\frac{(x,X_0)(y,X_0)}{(X_0,X_0)} \\
&= (x,y).
\end{align*}
公式：$(\tau(x), \tau(y)) = (x,y)$
提示：注意内积的线性性和对称性，以及 $(X_0, y) = (y, X_0)$。
步骤 4/5
目标：由保持内积推出系数条件（必要性）
假设 $\tau(x) = x + k (x, X_0) X_0$ 是正交变换，则对任意 $x, y \in V$ 有 $(\tau(x), \tau(y)) = (x,y)$。计算：
\begin{align*}
(\tau(x), \tau(y)) &= (x + k (x, X_0) X_0,\; y + k (y, X_0) X_0) \\
&= (x,y) + k (x,X_0)(X_0,y) + k (y,X_0)(x,X_0) + k^2 (x,X_0)(y,X_0)(X_0,X_0) \\
&= (x,y) + 2k (x,X_0)(y,X_0) + k^2 (x,X_0)(y,X_0)(X_0,X_0).
\end{align*}
令其等于 $(x,y)$，得 $2k + k^2 (X_0,X_0) = 0$，即 $k(2 + k (X_0,X_0)) = 0$。由于 $X_0 \neq 0$，且 $k \neq 0$（否则 $\tau$ 为恒等变换，但反射要求非平凡），故 $k = -\frac{2}{(X_0,X_0)}$。
公式：$k(2 + k (X_0,X_0)) = 0$
提示：注意 $k=0$ 对应恒等变换，但题目隐含反射变换，故 $k \neq 0$。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
因此，$\tau$ 是正交变换（具体为关于超平面的反射）的充要条件是 $k = -\frac{2}{(X_0, X_0)}$。
公式：$\displaystyle k = -\frac{2}{(X_0, X_0)}$
提示：确保 $X_0$ 非零，且 $k$ 为负实数。
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