北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 是 $n \times n$ 正交矩阵，$|A|=1, n$ 为奇数，则 $A$ 有特征值 $1 ;|A|=-1, A$ 有特征值 -1 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正交矩阵的性质
正交矩阵满足 $A^T A = I$，即 $A^T = A^{-1}$。且正交矩阵的行列式 $|A| = \pm 1$。
公式：A^T A = I, |A| = \pm 1
提示：注意正交矩阵的定义：$A^T A = I$，而不是 $AA^T = I$，两者等价。
步骤 2/5
目标：分析特征值的性质
正交矩阵的特征值模长为1，即 $|\lambda| = 1$。实特征值只能是 $\pm 1$，复特征值成对共轭出现。
公式：|\lambda| = 1
提示：复特征值成对共轭，且乘积为1。
步骤 3/5
目标：证明当 $|A|=1$ 且 $n$ 为奇数时，$A$ 有特征值 $1$
考虑行列式 $|A - I|$。利用正交性：$|A - I| = |A^T - I| = |A^{-1} - I| = |A^{-1}(I - A)| = |A^{-1}| \cdot |I - A| = |A|^{-1} \cdot |I - A|$。由于 $|A|=1$，得 $|A - I| = |I - A|$。又 $|I - A| = (-1)^n |A - I|$，且 $n$ 为奇数，故 $|I - A| = -|A - I|$。代入得 $|A - I| = -|A - I|$，所以 $|A - I| = 0$，即 $1$ 是特征值。
公式：|A - I| = |A|^{-1} |I - A|, |I - A| = (-1)^n |A - I|
提示：注意 $|I - A| = (-1)^n |A - I|$ 的推导：提出负号，$|I - A| = |-(A - I)| = (-1)^n |A - I|$。
步骤 4/5
目标：证明当 $|A|=-1$ 时，$A$ 有特征值 $-1$
考虑行列式 $|A + I|$。类似地，$|A + I| = |A^T + I| = |A^{-1} + I| = |A^{-1}(I + A)| = |A^{-1}| \cdot |I + A| = |A|^{-1} \cdot |I + A|$。由于 $|A| = -1$，得 $|A + I| = -|I + A|$。而 $|I + A| = |A + I|$，所以 $|A + I| = -|A + I|$，故 $|A + I| = 0$，即 $-1$ 是特征值。
公式：|A + I| = |A|^{-1} |I + A|
提示：注意 $|I + A| = |A + I|$，没有负号。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对于正交矩阵 $A$：若 $|A|=1$ 且 $n$ 为奇数，则 $1$ 是特征值；若 $|A|=-1$，则 $-1$ 是特征值。
提示：注意 $n$ 为奇数的条件只在第一种情况需要，第二种情况不需要。
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