📝 北京工业大学 2021年高等代数真题

1．若 $A$ 和 $B$ 是数域 $P$ 上 $n \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A B X=0$ 与 $B X=0$ 同解当且仅当秩 $(A B)=$ 秩 $(B)$ ，这里 $X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime}$ 。

2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

2．若方阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ D^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为实对称阵，则 $A$ 是正定的充分必要条件为 $B$ 是正定且 $C-D^{\prime} B^{-1} D$ 也是正定的．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

2．若 $A$ 为非零矩阵，则线性方程组 $A^{\prime} A X=A^{\prime} b$ 必有解，这里 $b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\prime}$ 为任意列向量．

1．求 $\mathscr{A}$ 的逆变换 $\mathscr{A}^{-1}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的变换矩阵。

2．求 $\mathscr{A}^{-1}$ 在 $\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right), \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right), \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)$ 下的变换矩阵。

1．设 $A$ 是 $n \times n$ 正交矩阵，$|A|=1, n$ 为奇数，则 $A$ 有特征值 $1 ;|A|=-1, A$ 有特征值 -1 ．

2．设 $A$ 和 $B$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶幂矩阵（即 $A^{2}=A, B^{2}=B$ ），$A B=B A$ ，有非奇异矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$与 $P^{-1} B P$ 都是对角矩阵．