北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $A$ 和 $B$ 是数域 $P$ 上 $n \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A B X=0$ 与 $B X=0$ 同解当且仅当秩 $(A B)=$ 秩 $(B)$ ，这里 $X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入解空间与维数公式
设 $V$ 是 $n$ 维列向量空间。考虑线性方程组 $ABX=0$ 和 $BX=0$ 的解空间，分别记为 $\ker(AB)$ 和 $\ker(B)$。由维数公式，$\dim\ker(AB) = n - \operatorname{rank}(AB)$，$\dim\ker(B) = n - \operatorname{rank}(B)$。
公式：\dim\ker(M) = n - \operatorname{rank}(M)
提示：注意维数公式适用于任何矩阵，但这里矩阵是 $n \times n$ 的，所以列数 $n$ 就是向量空间的维数。
步骤 2/5
目标：必要性证明：由同解推出秩相等
若 $ABX=0$ 与 $BX=0$ 同解，则 $\ker(AB) = \ker(B)$。于是 $\dim\ker(AB) = \dim\ker(B)$。代入维数公式得 $n - \operatorname{rank}(AB) = n - \operatorname{rank}(B)$，从而 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：同解意味着解空间完全相同，所以维数相等。
步骤 3/5
目标：充分性证明：由秩相等推出解空间包含关系
若 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$，则 $\dim\ker(AB) = \dim\ker(B)$。显然 $\ker(B) \subseteq \ker(AB)$，因为若 $BX=0$，则 $ABX = A0 = 0$。
提示：包含关系是显然的，但要注意方向：$BX=0$ 的解一定是 $ABX=0$ 的解。
步骤 4/5
目标：充分性证明：由维数相等和包含关系推出解空间相等
由于 $\ker(B) \subseteq \ker(AB)$ 且 $\dim\ker(B) = \dim\ker(AB)$，故 $\ker(AB) = \ker(B)$，即方程组同解。
提示：有限维向量空间中，若子空间 $U \subseteq W$ 且 $\dim U = \dim W$，则 $U = W$。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，齐次线性方程组 $ABX=0$ 与 $BX=0$ 同解当且仅当 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：注意结论的充分必要性。
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