北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 为非零矩阵，则线性方程组 $A^{\prime} A X=A^{\prime} b$ 必有解，这里 $b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\prime}$ 为任意列向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确矩阵维度和问题转化
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则 $A'$ 为 $n \times m$ 矩阵，$A'A$ 为 $n \times n$ 对称半正定矩阵。线性方程组 $A'A X = A'b$ 的系数矩阵为 $A'A$，增广矩阵为 $(A'A \mid A'b)$。我们需要证明该方程组总有解，即 $A'b$ 属于 $A'A$ 的列空间。
提示：注意矩阵维度的匹配：$A'A$ 是 $n \times n$，$X$ 是 $n \times 1$，$A'b$ 是 $n \times 1$。
步骤 2/5
目标：利用正交补空间条件
根据线性代数理论，方程组 $A'A X = A'b$ 有解当且仅当 $A'b$ 与 $A'A$ 的零空间正交。即对于任意 $y \in \mathbb{R}^n$ 满足 $A'A y = 0$，有 $y' (A'b) = 0$。
公式：解存在的充要条件：$A'b \in \text{Col}(A'A) \iff (A'b) \perp \text{Nul}(A'A)$
提示：注意零空间与列空间的正交补关系：$\text{Nul}(A'A) = [\text{Col}(A'A)]^\perp$。
步骤 3/5
目标：推导零空间向量的性质
设 $y \in \mathbb{R}^n$ 满足 $A'A y = 0$。两边左乘 $y'$ 得 $y' A'A y = 0$，即 $(Ay)'(Ay) = \|Ay\|^2 = 0$，因此 $Ay = 0$。
公式：$y' A'A y = (Ay)'(Ay) = \|Ay\|^2$
提示：注意 $A'A$ 半正定，$y'A'Ay=0$ 推出 $Ay=0$ 是因为 $\|Ay\|^2=0$。
步骤 4/5
目标：验证正交性条件
由 $Ay=0$ 可得 $y' A'b = (Ay)' b = 0' b = 0$。因此 $A'b$ 与 $A'A$ 的零空间正交，从而 $A'b$ 属于 $A'A$ 的列空间。
公式：$y' A'b = (Ay)' b$
提示：注意转置运算：$(Ay)' = y' A'$，但这里直接使用 $(Ay)'$ 更简洁。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $A'b$ 属于 $A'A$ 的列空间，方程组 $A'A X = A'b$ 必有解。注意 $A$ 为非零矩阵，但证明中并未用到非零条件，实际上该结论对任意矩阵 $A$ 都成立。
提示：题目中强调 $A$ 为非零矩阵，但证明中未使用，可能是为了排除 $A=0$ 时 $A'A=0$ 导致平凡情况？实际上 $A=0$ 时 $A'A=0$，方程变为 $0=A'b=0$，也有解（任意 $X$）。所以结论对任意 $A$ 成立。
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