北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 和 $B$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶幂矩阵（即 $A^{2}=A, B^{2}=B$ ），$A B=B A$ ，有非奇异矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$与 $P^{-1} B P$ 都是对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $A$ 和 $B$ 是实数域上的 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^2=A$, $B^2=B$，且 $AB=BA$。需要证明存在非奇异矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 都是对角矩阵。
公式：A^2=A, B^2=B, AB=BA
提示：注意幂等矩阵的特征值只能是0或1。
步骤 2/7
目标：对角化矩阵 A
由于 $A$ 是幂等矩阵，它可对角化，且特征值为0或1。存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：幂等矩阵的秩等于迹，且可对角化。
步骤 3/7
目标：变换矩阵 B
令 $C = Q^{-1}BQ$。由于 $AB=BA$，可得 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} C = C \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算可得 $C$ 必须为分块对角矩阵：$C = \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix}$，其中 $C_1$ 是 $r \times r$ 矩阵，$C_2$ 是 $(n-r) \times (n-r)$ 矩阵。
公式：\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} C = C \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow C = \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix}
提示：利用分块矩阵乘法，非对角块必须为零。
步骤 4/7
目标：利用 B 的幂等性
由 $B^2=B$ 得 $C^2=C$，即 $\begin{pmatrix} C_1^2 & 0 \\ 0 & C_2^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix}$，所以 $C_1^2=C_1$, $C_2^2=C_2$，即 $C_1$ 和 $C_2$ 也是幂等矩阵。
公式：C_1^2=C_1, C_2^2=C_2
提示：幂等矩阵的块也是幂等矩阵。
步骤 5/7
目标：对角化 C1 和 C2
由于 $C_1$ 和 $C_2$ 是幂等矩阵，它们可对角化。存在可逆矩阵 $R_1$ 和 $R_2$ 使得 $R_1^{-1}C_1R_1$ 和 $R_2^{-1}C_2R_2$ 为对角矩阵（特征值0或1）。
公式：R_1^{-1}C_1R_1 = \text{diag}, \quad R_2^{-1}C_2R_2 = \text{diag}
提示：幂等矩阵可对角化，且对角化后为对角线上0和1的矩阵。
步骤 6/7
目标：构造整体对角化矩阵
令 $R = \begin{pmatrix} R_1 & 0 \\ 0 & R_2 \end{pmatrix}$，则 $R^{-1}CR = \begin{pmatrix} R_1^{-1}C_1R_1 & 0 \\ 0 & R_2^{-1}C_2R_2 \end{pmatrix}$ 为对角矩阵。同时，$R^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 仍为对角矩阵。
公式：R^{-1}CR = \text{diag}, \quad R^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意分块对角矩阵的逆也是分块对角。
步骤 7/7
目标：得到最终结果
取 $P = QR$，则 $P^{-1}AP = R^{-1}(Q^{-1}AQ)R = R^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} R = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 为对角矩阵，且 $P^{-1}BP = R^{-1}CR$ 也为对角矩阵。因此存在非奇异矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 都是对角矩阵。
公式：P = QR, \quad P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}BP = \text{diag}
提示：注意 $P$ 是可逆的，因为 $Q$ 和 $R$ 都可逆。
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