北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．若方阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ D^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为实对称阵，则 $A$ 是正定的充分必要条件为 $B$ 是正定且 $C-D^{\prime} B^{-1} D$ 也是正定的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目和符号设定
设 $A = \begin{pmatrix} B & D \\ D' & C \end{pmatrix}$ 为实对称矩阵，其中 $B$ 是 $r \times r$ 矩阵，$C$ 是 $s \times s$ 矩阵，$D$ 是 $r \times s$ 矩阵。由于 $A$ 对称，有 $B'=B$, $C'=C$。
提示：注意 $D'$ 是 $D$ 的转置，$B$ 和 $C$ 都是对称的。
步骤 2/7
目标：必要性：证明 $B$ 正定
若 $A$ 正定，则对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^r$，构造 $z = (x, 0)' \in \mathbb{R}^{r+s}$，其中 $0$ 是 $s$ 维零向量。则 $z \neq 0$，且 $z' A z = x' B x > 0$，故 $B$ 正定。
公式：$z' A z = x' B x$
提示：注意 $z$ 非零，因为 $x$ 非零。
步骤 3/7
目标：必要性：证明 $C - D' B^{-1} D$ 正定
对任意非零向量 $y \in \mathbb{R}^s$，构造 $z = (-B^{-1} D y, y)'$。计算 $z' A z$：
\begin{align*}
z' A z &= \begin{pmatrix} -y' D' B^{-1} & y' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & D \\ D' & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -B^{-1} D y \\ y \end{pmatrix} \\
&= y' (C - D' B^{-1} D) y.
\end{align*}
由于 $A$ 正定，$z \neq 0$（否则 $y=0$），故 $y' (C - D' B^{-1} D) y > 0$，即 $C - D' B^{-1} D$ 正定。
公式：$z' A z = y' (C - D' B^{-1} D) y$
提示：注意 $z$ 非零的验证：若 $z=0$，则 $y=0$，矛盾。
步骤 4/7
目标：充分性：假设条件并开始证明
假设 $B$ 正定且 $S = C - D' B^{-1} D$ 正定。对任意非零向量 $z = (x, y)' \in \mathbb{R}^{r+s}$，计算二次型：
\[ z' A z = x' B x + 2 x' D y + y' C y. \]
公式：$z' A z = x' B x + 2 x' D y + y' C y$
提示：注意交叉项 $2 x' D y$ 来自 $x' D y + y' D' x$ 由于对称性。
步骤 5/7
目标：充分性：配方变换
令 $x = u - B^{-1} D y$，则 $u = x + B^{-1} D y$。代入二次型：
\begin{align*}
z' A z &= (u - B^{-1} D y)' B (u - B^{-1} D y) + 2 (u - B^{-1} D y)' D y + y' C y \\
&= u' B u - u' D y - y' D' u + y' D' B^{-1} D y + 2 u' D y - 2 y' D' B^{-1} D y + y' C y \\
&= u' B u + y' (C - D' B^{-1} D) y.
\end{align*}
公式：$z' A z = u' B u + y' S y$
提示：注意 $u' B u$ 中 $B$ 对称，且 $u' D y = y' D' u$。
步骤 6/7
目标：充分性：证明正定性
由于 $B$ 正定，$u' B u \geq 0$，等号成立当且仅当 $u=0$；$S$ 正定，$y' S y \geq 0$，等号成立当且仅当 $y=0$。若 $z \neq 0$，则 $u$ 和 $y$ 不同时为零，故 $u' B u + y' S y > 0$，即 $z' A z > 0$，所以 $A$ 正定。
提示：注意 $u$ 和 $y$ 同时为零时 $z=0$，所以非零 $z$ 保证至少一个非零。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$A$ 正定的充分必要条件是 $B$ 正定且 $C - D' B^{-1} D$ 正定。
提示：该结论是分块矩阵正定性的重要判定定理。
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