北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．求 $\mathscr{A}^{-1}$ 在 $\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right), \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right), \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)$ 下的变换矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定基和矩阵
设线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A$，即 $\mathscr{A}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$。
公式：$\mathscr{A}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$
提示：注意矩阵 $A$ 是右乘，即变换作用于基向量时，基向量行向量右乘矩阵。
步骤 2/7
目标：定义新基
由于 $\mathscr{A}$ 可逆，$\mathscr{A}(\varepsilon_1), \mathscr{A}(\varepsilon_2), \mathscr{A}(\varepsilon_3)$ 也是基。记 $\eta_i = \mathscr{A}(\varepsilon_i)$，则 $(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$。
公式：$(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$
提示：新基是原基的像，注意顺序对应。
步骤 3/7
目标：应用逆变换到新基
计算 $\mathscr{A}^{-1}(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = \mathscr{A}^{-1}((\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A) = (\mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_1), \mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_2), \mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_3)) A$。
公式：$\mathscr{A}^{-1}((\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A) = (\mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_1), \mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_2), \mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_3)) A$
提示：逆变换是线性变换，因此可以作用于每个基向量，且矩阵乘法顺序不变。
步骤 4/7
目标：用逆矩阵表示逆变换
因为 $\mathscr{A}^{-1}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵是 $A^{-1}$，即 $\mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A^{-1}$。代入上式得：$\mathscr{A}^{-1}(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A^{-1} A = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)$。
公式：$\mathscr{A}^{-1}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A^{-1}$
提示：注意 $A^{-1}A = I$，单位矩阵。
步骤 5/7
目标：用新基表示原基
由 $(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) A$ 可得 $(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) A^{-1}$。
公式：$(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) A^{-1}$
提示：这是基变换公式的逆用。
步骤 6/7
目标：得到逆变换在新基下的矩阵
将上一步代入 $\mathscr{A}^{-1}(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)$ 得：$\mathscr{A}^{-1}(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) A^{-1}$。因此，$\mathscr{A}^{-1}$ 在基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的变换矩阵为 $A^{-1}$。
公式：$\mathscr{A}^{-1}(\eta_1, \eta_2, \eta_3) = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) A^{-1}$
提示：注意矩阵 $A^{-1}$ 是右乘，与定义一致。
步骤 7/7
目标：总结答案
所以，$\mathscr{A}^{-1}$ 在 $\mathscr{A}(\varepsilon_1), \mathscr{A}(\varepsilon_2), \mathscr{A}(\varepsilon_3)$ 下的变换矩阵就是 $A^{-1}$，其中 $A$ 是 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵。
提示：结果简洁：逆变换在像基下的矩阵就是原变换矩阵的逆。
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