北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义解子空间
设 $V_1 = \{X \in P^n \mid AX = 0\}$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间，$V_2 = \{X \in P^n \mid BX = 0\}$ 为 $BX=0$ 的解空间。
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $P^n$ 的子空间。
步骤 2/6
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX=0$ 且 $BX=0$，从而 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X = 0$。由于 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 是 $n \times n$ 非奇异矩阵，其零空间只有零向量，故 $X=0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X = 0$
提示：非奇异矩阵的齐次线性方程组只有零解。
步骤 3/6
目标：证明 $P^n = V_1 + V_2$：构造向量分解
任取 $Y \in P^n$，考虑线性方程组 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ BY \end{pmatrix}$。由于系数矩阵非奇异，存在唯一解 $X_0$。
公式：$\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ BY \end{pmatrix}$
提示：注意右边向量是 $n \times 1$ 的，其中 $0$ 是 $r \times 1$ 零向量，$BY$ 是 $(n-r) \times 1$ 向量。
步骤 4/6
目标：验证 $X_0 \in V_1$
由 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ BY \end{pmatrix}$ 得 $A X_0 = 0$，故 $X_0 \in V_1$。
公式：$A X_0 = 0$
步骤 5/6
目标：验证 $Y - X_0 \in V_2$
由 $B X_0 = BY$ 得 $B(Y - X_0) = BY - B X_0 = 0$，故 $Y - X_0 \in V_2$。
公式：$B(Y - X_0) = 0$
步骤 6/6
目标：得到直和分解
于是 $Y = X_0 + (Y - X_0) \in V_1 + V_2$。由于 $Y$ 任意，$P^n \subseteq V_1 + V_2$，而显然 $V_1 + V_2 \subseteq P^n$，故 $P^n = V_1 + V_2$。结合 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，得 $P^n = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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