北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用实对称矩阵的正交对角化性质
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，且均为实数。
公式：Q^T A Q = \Lambda
提示：正交对角化要求矩阵是实对称的，注意 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 2/5
目标：由行列式条件推断特征值符号
行列式 $|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$。已知 $|A| < 0$，因此特征值中必有奇数个负数，特别地，至少存在一个特征值 $\lambda_k < 0$。
公式：|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i
提示：注意特征值的乘积等于行列式，且实对称矩阵的特征值都是实数。
步骤 3/5
目标：构造向量 $X$
取 $n$ 维实列向量 $X = Q e_k$，其中 $e_k$ 是第 $k$ 个标准单位向量（第 $k$ 分量为1，其余为0）。
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，$e_k$ 是标准基向量。
步骤 4/5
目标：计算二次型 $X^T A X$
计算 $X^T A X = (Q e_k)^T A (Q e_k) = e_k^T Q^T A Q e_k = e_k^T \Lambda e_k = \lambda_k$。
公式：X^T A X = e_k^T \Lambda e_k = \lambda_k
提示：利用 $Q^T A Q = \Lambda$ 和 $e_k^T \Lambda e_k = \lambda_k$，因为 $\Lambda$ 是对角矩阵。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $\lambda_k < 0$，所以 $X^T A X = \lambda_k < 0$，即存在 $n$ 维实列向量 $X$ 使得 $X^T A X < 0$。
提示：注意 $X$ 是非零向量，因为 $Q$ 可逆，$e_k$ 非零。
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