北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解秩的单调性
对于任意方阵 $A$，考虑幂次 $k$ 的秩 $\operatorname{rank}(A^k)$。由于 $A^{k+1} = A^k \cdot A$，矩阵乘法不增加秩，因此有 $\operatorname{rank}(A^{k+1}) \leq \operatorname{rank}(A^k)$。所以序列 $\{\operatorname{rank}(A^k)\}_{k=1}^\infty$ 是单调不增的。
公式：\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}
提示：注意秩的不等式方向：乘法后秩不会增加。
步骤 2/5
目标：确定序列的下界
秩是非负整数，且 $\operatorname{rank}(A^k) \geq 0$，因此序列有下界 $0$。单调不增且有下界的序列必然收敛，即存在某个 $m$ 使得当 $k \geq m$ 时 $\operatorname{rank}(A^k)$ 为常数。
提示：下界是0，但稳定值不一定为0。
步骤 3/5
目标：分析秩下降的步数
由于 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\operatorname{rank}(A^k)$ 的取值范围是 $0,1,\dots,n$。若 $\operatorname{rank}(A^k) > \operatorname{rank}(A^{k+1})$，则秩至少减少 $1$。初始秩最多为 $n$，因此最多经过 $n$ 步，秩就会稳定。即存在 $m \leq n$ 使得 $\operatorname{rank}(A^m) = \operatorname{rank}(A^{m+1}) = \cdots$。
提示：注意：稳定点 $m$ 可能小于 $n$，但题目要求证明 $m=n$ 时也成立。
步骤 4/5
目标：证明 $m=n$ 时成立
由上述分析，存在某个 $m \leq n$ 使得秩稳定。那么对于任意 $k \geq m$，$\operatorname{rank}(A^k) = \operatorname{rank}(A^m)$。特别地，取 $k=n$ 和 $k=n+1$，由于 $n \geq m$，有 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^m)$ 且 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) = \operatorname{rank}(A^m)$，因此 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^{n+1})$。同理，$\operatorname{rank}(A^{n+2})$ 也等于该值，故序列从 $n$ 开始恒等。
提示：关键：$m \leq n$，所以 $n$ 及以后都在稳定区间内。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，有 $\operatorname{rank}(A^n) = \operatorname{rank}(A^{n+1}) = \operatorname{rank}(A^{n+2}) = \cdots$。
提示：注意：该结论对任意方阵成立，无论是否可逆。
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