北京工业大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $\mathscr{A}$ 的逆变换 $\mathscr{A}^{-1}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的变换矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并明确已知条件
题目要求求线性变换 $\mathscr{A}$ 的逆变换 $\mathscr{A}^{-1}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的变换矩阵。通常，$\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵 $A$ 是已知的，但题目未直接给出。因此，我们假设 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A$。
提示：注意：题目可能隐含了 $\mathscr{A}$ 的具体定义，需要从上下文获取。若没有，则只能给出一般性结论。
步骤 2/5
目标：回忆逆变换与逆矩阵的关系
设线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $A$，则 $\mathscr{A}$ 的逆变换 $\mathscr{A}^{-1}$ 在同一基下的矩阵为 $A^{-1}$。这是因为 $\mathscr{A} \circ \mathscr{A}^{-1} = \mathscr{I}$（恒等变换），对应的矩阵乘积为单位矩阵 $I$，即 $A \cdot A^{-1} = I$。
公式：$\mathscr{A}^{-1}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵 $= A^{-1}$
提示：逆变换存在的充要条件是 $\mathscr{A}$ 可逆，即 $\det(A) \neq 0$。
步骤 3/5
目标：确定计算 $A^{-1}$ 的方法
计算 $A^{-1}$ 的常用方法有两种：
1. 初等行变换法：对增广矩阵 $[A \mid I]$ 进行初等行变换，化为 $[I \mid A^{-1}]$。
2. 伴随矩阵法：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，其中 $\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。
由于题目未给出具体 $A$，我们无法进行数值计算，只能给出一般步骤。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
提示：初等行变换时，只能进行行变换，不能进行列变换。伴随矩阵法需先计算行列式和所有代数余子式。
步骤 4/5
目标：假设 $A$ 已知并演示计算过程（以一般3阶矩阵为例）
假设 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$。
首先计算行列式 $\det(A)$。若 $\det(A) \neq 0$，则 $A$ 可逆。
然后计算伴随矩阵 $\text{adj}(A)$，其元素为 $A$ 的代数余子式的转置。
最后得到 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$。
公式：$\text{adj}(A)_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ji}$，其中 $M_{ji}$ 是余子式
提示：注意伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，容易忘记转置。
步骤 5/5
目标：给出最终答案的表达式
由于题目未提供具体 $A$，最终答案只能以一般形式给出：$\mathscr{A}^{-1}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的变换矩阵为 $A^{-1}$，其中 $A$ 是 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。
提示：在实际问题中，必须首先明确 $\mathscr{A}$ 的矩阵 $A$，然后计算其逆矩阵。
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