北京工业大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ；
（2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明V2是子空间
对任意$\beta = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i$, $\gamma = \sum_{i=1}^n l_i \alpha_i \in V_2$，有$\sum k_i = 0$, $\sum l_i = 0$。则$\beta + \gamma = \sum (k_i + l_i) \alpha_i$，且$\sum (k_i + l_i) = 0$，故$\beta + \gamma \in V_2$。对任意$c \in F$，$c\beta = \sum (c k_i) \alpha_i$，且$\sum c k_i = c \cdot 0 = 0$，故$c\beta \in V_2$。因此$V_2$是子空间。
提示：验证子空间需检查加法封闭和数乘封闭，注意系数和为零的条件。
步骤 2/6
目标：证明V = V1 + V2
设$\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n$，则$V_1 = \{c\alpha \mid c \in F\}$。任意$\beta = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i \in V$，令$c = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$，则$\beta = c\alpha + (\beta - c\alpha)$。其中$c\alpha \in V_1$，而$\beta - c\alpha = \sum (k_i - c) \alpha_i$，且$\sum (k_i - c) = \sum k_i - n c = 0$，故$\beta - c\alpha \in V_2$。因此$V = V_1 + V_2$。
公式：$c = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$
提示：构造分解时需确保c的选取使第二项系数和为零。
步骤 3/6
目标：证明V1 ∩ V2 = {0}
若$\beta \in V_1 \cap V_2$，则$\beta = c\alpha$且$\sum_{i=1}^n c = n c = 0$，故$c=0$，从而$\beta = 0$。所以$V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意V1中元素形式为cα，代入V2条件得nc=0，由数域特征非零得c=0。
步骤 4/6
目标：结论V = V1 ⊕ V2
由$V = V_1 + V_2$和$V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需同时满足和与交的条件。
步骤 5/6
目标：证明V1是φ的不变子空间
设$\varphi$在基$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$下的矩阵为置换矩阵$A$，即存在置换$\sigma \in S_n$使得$\varphi(\alpha_j) = \alpha_{\sigma(j)}$。令$\alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i$，则$\varphi(\alpha) = \sum_{i=1}^n \varphi(\alpha_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_{\sigma(i)} = \sum_{j=1}^n \alpha_j = \alpha$，故$\varphi(\alpha) \in V_1$。对任意$c\alpha \in V_1$，$\varphi(c\alpha) = c\varphi(\alpha) = c\alpha \in V_1$，所以$V_1$是$\varphi$的不变子空间。
公式：$\varphi(\alpha) = \alpha$
提示：注意置换矩阵作用相当于对基进行置换，所有基向量和是特征值为1的特征向量。
步骤 6/6
目标：证明V2是φ的不变子空间
任取$\beta = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i \in V_2$，则$\sum k_i = 0$。$\varphi(\beta) = \sum_{i=1}^n k_i \varphi(\alpha_i) = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_{\sigma(i)} = \sum_{j=1}^n k_{\sigma^{-1}(j)} \alpha_j$。其系数和$\sum_{j=1}^n k_{\sigma^{-1}(j)} = \sum_{i=1}^n k_i = 0$，故$\varphi(\beta) \in V_2$。因此$V_2$是$\varphi$的不变子空间。
公式：$\sum_{j=1}^n k_{\sigma^{-1}(j)} = \sum_{i=1}^n k_i$
提示：注意置换不改变系数和，因此V2中元素像的系数和仍为零。
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