北京工业大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积．
（1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证对称性
对于任意 $\sigma, \tau \in \operatorname{End}(V)$，有
\[
\langle\sigma, \tau\rangle = \sum_{i=1}^n (\sigma(\varepsilon_i), \tau(\varepsilon_i)) = \sum_{i=1}^n (\tau(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_i)) = \langle\tau, \sigma\rangle,
\]
其中第二个等号利用了 $V$ 上内积的对称性。
公式：$(x,y)=(y,x)$
提示：注意内积的对称性在实数域上成立。
步骤 2/7
目标：验证线性性
对于任意 $\sigma, \tau, \rho \in \operatorname{End}(V)$ 和 $a,b \in \mathbb{R}$，有
\[
\begin{aligned}
\langle a\sigma + b\tau, \rho\rangle &= \sum_{i=1}^n ((a\sigma + b\tau)(\varepsilon_i), \rho(\varepsilon_i)) \\
&= \sum_{i=1}^n (a\sigma(\varepsilon_i) + b\tau(\varepsilon_i), \rho(\varepsilon_i)) \\
&= a\sum_{i=1}^n (\sigma(\varepsilon_i), \rho(\varepsilon_i)) + b\sum_{i=1}^n (\tau(\varepsilon_i), \rho(\varepsilon_i)) \\
&= a\langle\sigma, \rho\rangle + b\langle\tau, \rho\rangle.
\end{aligned}
\]
公式：$(ax+by,z)=a(x,z)+b(y,z)$
提示：线性性只对第一个变量验证即可，因为对称性保证第二个变量也线性。
步骤 3/7
目标：验证正定性
对于任意 $\sigma \in \operatorname{End}(V)$，有
\[
\langle\sigma, \sigma\rangle = \sum_{i=1}^n (\sigma(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_i)) = \sum_{i=1}^n \|\sigma(\varepsilon_i)\|^2 \geq 0.
\]
若 $\langle\sigma, \sigma\rangle = 0$，则每个 $\|\sigma(\varepsilon_i)\|=0$，从而 $\sigma(\varepsilon_i)=0$ 对所有 $i$ 成立，故 $\sigma=0$。反之显然。
公式：$\|x\|^2 = (x,x) \geq 0$，等号当且仅当 $x=0$
提示：注意 $\sigma=0$ 是零变换，将每个向量映到零。
步骤 4/7
目标：定义线性变换 $E_{ij}$
定义 $E_{ij} \in \operatorname{End}(V)$ 为：$E_{ij}(\varepsilon_k) = \delta_{jk} \varepsilon_i$，其中 $\delta_{jk}$ 是 Kronecker 符号，即当 $j=k$ 时 $\delta_{jk}=1$，否则为 $0$。直观上，$E_{ij}$ 将基向量 $\varepsilon_j$ 映到 $\varepsilon_i$，而将其他基向量映到零。
公式：$E_{ij}(\varepsilon_k) = \delta_{jk} \varepsilon_i$
提示：注意 $E_{ij}$ 是线性变换，由其在基上的作用唯一确定。
步骤 5/7
目标：证明 $\{E_{ij}\}$ 是 $\operatorname{End}(V)$ 的一组基
任意 $\sigma \in \operatorname{End}(V)$，设 $\sigma(\varepsilon_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \varepsilon_i$，则 $\sigma = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} E_{ij}$，且表示唯一。因此 $\dim \operatorname{End}(V) = n^2$，而 $\{E_{ij}\}$ 有 $n^2$ 个元素，故构成一组基。
公式：$\sigma = \sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}$
提示：注意 $a_{ij}$ 是 $\sigma$ 在基 $\{\varepsilon_i\}$ 下的矩阵元素。
步骤 6/7
目标：计算 $\langle E_{ij}, E_{kl} \rangle$
\[
\begin{aligned}
\langle E_{ij}, E_{kl} \rangle &= \sum_{m=1}^n (E_{ij}(\varepsilon_m), E_{kl}(\varepsilon_m)) \\
&= \sum_{m=1}^n (\delta_{jm} \varepsilon_i, \delta_{lm} \varepsilon_k) \\
&= \sum_{m=1}^n \delta_{jm} \delta_{lm} (\varepsilon_i, \varepsilon_k) \\
&= \delta_{jl} \delta_{ik}.
\end{aligned}
\]
其中最后一步利用了 $(\varepsilon_i, \varepsilon_k)=\delta_{ik}$。
公式：$\langle E_{ij}, E_{kl} \rangle = \delta_{jl} \delta_{ik}$
提示：注意求和只有 $m=j=l$ 时非零，且 $\delta_{jm}\delta_{lm}=\delta_{jl}$。
步骤 7/7
目标：得出标准正交基
由 $\langle E_{ij}, E_{kl} \rangle = \delta_{jl} \delta_{ik}$ 知，当 $(i,j) \neq (k,l)$ 时内积为 $0$，且 $\langle E_{ij}, E_{ij} \rangle = 1$。因此 $\{E_{ij} \mid i,j=1,\dots,n\}$ 是 $\operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基。
提示：注意标准正交基要求两两正交且长度为1，这里已满足。
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