北京工业大学 2023年高等代数第6题

设 $B = \begin{pmatrix} A & \alpha \\ \alpha^T & 1 \end{pmatrix}$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 可逆实对称矩阵。应用分块矩阵的行列式公式：当 $A$ 可逆时，$\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)$。令 $B = \alpha$，$C = \alpha^T$，$D = 1$，则 $|B| = |A| \cdot (1 - \alpha^T A^{-1} \alpha)$。

考虑矩阵 $A - \alpha \alpha^T$。由矩阵行列式引理：当 $A$ 可逆时，$\det(A + uv^T) = \det(A) (1 + v^T A^{-1} u)$。令 $u = -\alpha$，$v^T = \alpha^T$，则 $\det(A - \alpha \alpha^T) = \det(A) (1 + \alpha^T A^{-1} (-\alpha)) = \det(A) (1 - \alpha^T A^{-1} \alpha)$。因此 $|B| = |A|(1 - \alpha^T A^{-1} \alpha) = |A - \alpha \alpha^T|$。

假设 $A - \alpha \alpha^T$ 正定。则对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T (A - \alpha \alpha^T) x > 0$。特别地，取 $x$ 使得 $\alpha^T x = 0$，则 $x^T A x > 0$，故 $A$ 正定。由于 $A$ 正定，$A^{-1}$ 存在且正定。考虑 $B$ 的 Schur 补：$1 - \alpha^T A^{-1} \alpha$。由于 $A - \alpha \alpha^T$ 正定，其行列式大于0，即 $|A|(1 - \alpha^T A^{-1} \alpha) > 0$，而 $|A| > 0$，故 $1 - \alpha^T A^{-1} \alpha > 0$，即 $\alpha^T A^{-1} \alpha < 1$。

假设 $A$ 正定且 $\alpha^T A^{-1} \alpha < 1$。则 $A$ 可逆，且 $1 - \alpha^T A^{-1} \alpha > 0$。由（1）知 $|A - \alpha \alpha^T| = |A|(1 - \alpha^T A^{-1} \alpha) > 0$。但仅行列式大于0不足以保证正定性，需证明 $A - \alpha \alpha^T$ 的所有顺序主子式大于0。由于 $A$ 正定，其所有顺序主子式大于0。考虑 $A - \alpha \alpha^T$ 的任意 $k$ 阶顺序主子矩阵，它可表示为 $A_k - \alpha_k \alpha_k^T$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子矩阵，$\alpha_k$ 是 $\alpha$ 的前 $k$ 个分量。由于 $A$ 正定，$A_k$ 正定，且 $\alpha_k^T A_k^{-1} \alpha_k \leq \alpha^T A^{-1} \alpha < 1$（由 Cauchy 交错定理或 Schur 补性质），故 $|A_k - \alpha_k \alpha_k^T| = |A_k|(1 - \alpha_k^T A_k^{-1} \alpha_k) > 0$。因此 $A - \alpha \alpha^T$ 的所有顺序主子式大于0，从而正定。

综合以上，$A - \alpha \alpha^T$ 正定当且仅当 $A$ 正定且 $\alpha^T A^{-1} \alpha < 1$。