北京工业大学 2023年高等代数第7题
📝 题目
7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。
（1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ；
（2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明存在向量α使得所有σ_i(α)≠0
由于每个σ_i是非零线性变换，故Im σ_i ≠ {0}，从而ker σ_i是V的真子空间（因为dim ker σ_i = n - rank σ_i < n）。有限个真子空间的并不等于整个空间V（因为V是无限域或有限域但维数足够大时，真子空间的并是稀疏的）。取α ∈ V \ (∪_{i=1}^s ker σ_i)，则对所有i有σ_i(α) ≠ 0。
公式：V \setminus \bigcup_{i=1}^s \ker \sigma_i \neq \emptyset
提示：注意真子空间的并不一定覆盖整个空间，需要说明存在性。
步骤 2/5
目标：必要性：证明σ_i是幂等变换
由σ^2 = σ得∑_{i,j} σ_i σ_j = ∑_i σ_i。对任意α，考虑σ_i(α)。由于σ是幂等，有σ(σ_i(α)) = σ_i(α)，即∑_j σ_j σ_i(α) = σ_i(α)。由秩条件rank σ = ∑ rank σ_i知Im σ = ⊕ Im σ_i（直和），故对i≠j有σ_i σ_j = 0（因为Im σ_j ⊆ Im σ，且σ_i(Im σ_j) ⊆ Im σ_i ∩ Im σ_j = {0}）。代入得σ_i^2(α) = σ_i(α)，故σ_i是幂等变换。
公式：\sigma_i^2 = \sigma_i
提示：利用直和分解证明σ_i σ_j = 0是关键。
步骤 3/5
目标：必要性：证明σ_i σ_j = 0 (i≠j)
由秩条件，Im σ = ⊕ Im σ_i。对任意i≠j，取x ∈ Im σ_j，则x = σ_j(y)。由于σ_i(x) ∈ Im σ_i，同时σ_i(x) = σ_i σ_j(y) ∈ Im σ（因为Im σ_j ⊆ Im σ），而直和意味着Im σ_i ∩ Im σ_j = {0}，故σ_i σ_j(y) = 0，从而σ_i σ_j = 0。
公式：\sigma_i \sigma_j = 0 \quad (i \neq j)
提示：注意直和分解中不同分量的交为零。
步骤 4/5
目标：充分性：证明σ是幂等变换
设每个σ_i是幂等变换且σ_i σ_j = 0 (i≠j)。则σ^2 = (∑σ_i)^2 = ∑σ_i^2 + ∑_{i≠j} σ_i σ_j = ∑σ_i + 0 = σ，故σ是幂等变换。
公式：\sigma^2 = \sigma
提示：直接展开计算即可。
步骤 5/5
目标：充分性：证明秩条件
由σ_i σ_j = 0 (i≠j)知Im σ_i ∩ Im σ_j = {0}（若x ∈ Im σ_i ∩ Im σ_j，则x = σ_i(y) = σ_j(z)，于是σ_i(x) = σ_i^2(y) = σ_i(y) = x，但σ_i(x) = σ_i σ_j(z) = 0，故x=0）。因此Im σ = ∑ Im σ_i是直和，从而rank σ = ∑ rank σ_i。
公式：\operatorname{rank} \sigma = \sum_{i=1}^s \operatorname{rank} \sigma_i
提示：需要证明不同像空间的交为零。
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