北京工业大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
a & a+b & \cdots & a+b & a+b \\
a-b & a & \cdots & a+b & a+b \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a-b & a-b & \cdots & a & a+b \\
a-b & a-b & \cdots & a-b & a
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列变换：将第2至n列加到第1列
将第2列到第n列都加到第1列，得到新行列式：
$$D_n = \begin{vmatrix}
a + (n-1)(a+b) & a+b & \cdots & a+b \\
a + (n-1)(a+b) & a & \cdots & a+b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a + (n-1)(a+b) & a-b & \cdots & a
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变
提示：注意第1列每个元素都加了(n-1)个(a+b)，不要遗漏
步骤 2/5
目标：提取公因子
第1列所有元素均为 $a + (n-1)(a+b) = na + (n-1)b$，提取公因子：
$$D_n = [na + (n-1)b] \begin{vmatrix}
1 & a+b & \cdots & a+b \\
1 & a & \cdots & a+b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a-b & \cdots & a
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：某列有公因子可提取
提示：公因子计算正确：$a + (n-1)(a+b) = a + (n-1)a + (n-1)b = na + (n-1)b$
步骤 3/5
目标：行变换：第1行乘以-1加到其余行
将第1行乘以-1分别加到第2,3,...,n行，得到：
$$D_n = [na + (n-1)b] \begin{vmatrix}
1 & a+b & a+b & \cdots & a+b \\
0 & -b & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -b & -b & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & -b & -b & \cdots & -b
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变
提示：注意第2行第2列变为 $a - (a+b) = -b$，第2行第3列变为 $a+b - (a+b) = 0$，类似处理其他行
步骤 4/5
目标：化为下三角行列式
观察行列式：第1列只有第1行元素为1，其余为0，因此可按第1列展开，或直接视为下三角行列式（因为第1列下方全零，且第2至n列构成下三角矩阵）。实际上，该行列式是下三角形式，对角线上元素为：第1行第1列1，第2行第2列-b，第3行第3列-b，...，第n行第n列-b。
公式：下三角行列式等于对角线元素乘积
提示：注意第2至n行第2至n列是下三角矩阵，因为当i>j时，元素为0（例如第3行第2列是-b，但第2列第3行是0？实际上需检查：第3行第2列是-b，但第2行第3列是0，所以是下三角？不，下三角要求行号大于列号时元素为0，这里第3行第2列（行号3>列号2）元素为-b非0，所以不是严格下三角。但我们可以通过进一步变换或直接计算：实际上，该行列式可以通过按第1列展开得到：$1 \cdot (-b)^{n-1}$，因为余子式是下三角。
步骤 5/5
目标：计算行列式值
按第1列展开，余子式为 $(n-1)$ 阶下三角行列式，对角线元素均为 $-b$，因此余子式值为 $(-b)^{n-1}$。所以：
$$D_n = [na + (n-1)b] \cdot 1 \cdot (-b)^{n-1} = (-b)^{n-1} [na + (n-1)b].$$
公式：行列式按列展开公式
提示：注意符号：按第1列展开，第1行第1列代数余子式为 $(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}$，而 $M_{11}$ 是下三角行列式，直接乘积得 $(-b)^{n-1}$
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