北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．空间直角坐标系下，已知向量 $\vec{\alpha}=(1,0,-1), \vec{\beta}=(1,-2,0), \vec{\gamma}=(-1,2,-1)$ ，则 $(2 \alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta)=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算中间向量
计算 $2\vec{\alpha}+\vec{\beta}+\vec{\gamma}$：
$2\vec{\alpha} = 2(1,0,-1) = (2,0,-2)$，
$\vec{\beta} = (1,-2,0)$，
$\vec{\gamma} = (-1,2,-1)$，
相加得 $(2+1-1, 0-2+2, -2+0-1) = (2,0,-3)$。
提示：注意向量加法对应分量相加，不要混淆顺序。
步骤 2/6
目标：计算中间向量
计算 $\vec{\alpha}+\vec{\beta}+\vec{\gamma}$：
$(1,0,-1)+(1,-2,0)+(-1,2,-1) = (1+1-1, 0-2+2, -1+0-1) = (1,0,-2)$。
提示：注意符号，特别是第三分量 $-1+0-1 = -2$。
步骤 3/6
目标：计算中间向量
计算 $\vec{\alpha}+\vec{\beta}$：
$(1,0,-1)+(1,-2,0) = (2,-2,-1)$。
提示：简单加法，注意第二分量 $0+(-2)=-2$。
步骤 4/6
目标：计算前两个向量的叉积
计算 $(2,0,-3) \times (1,0,-2)$：
使用行列式：
$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot(-2)-(-3)\cdot0) - \mathbf{j}(2\cdot(-2)-(-3)\cdot1) + \mathbf{k}(2\cdot0-0\cdot1) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-4+3) + \mathbf{k}(0) = -\mathbf{j}(-1) = \mathbf{j} = (0,1,0)$。
公式：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
提示：注意叉积结果是一个向量，计算行列式时不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：计算最终叉积
将上一步结果 $(0,1,0)$ 与 $(2,-2,-1)$ 做叉积：
$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot(-1)-0\cdot(-2)) - \mathbf{j}(0\cdot(-1)-0\cdot2) + \mathbf{k}(0\cdot(-2)-1\cdot2) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (-1,0,-2)$。
公式：同上
提示：注意叉积不满足结合律，必须按顺序计算。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原式等于 $(-1,0,-2)$。
提示：检查向量分量是否计算正确。
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