📝 北京师范大学 2023年高等代数真题

2．证明上述分解唯一。
（专硕）设 $(A, B)$ 是一对 $n$ 阶方阵，现对 $A$ 和 $B$ 同时作相同初等变换，若经过若干这样的初等变换后，$(A, B)$ 化为 $(C, D)$ ，则称矩阵对 $(A, B)$ 与 $(C, D)$ 等价．证明：

若矩阵对 $\left(I_{n}, B\right)$ 和 $\left(I_{n}, D\right)$ 等价，$I_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则矩阵 $B$ 和 $D$ 相似。

1．空间直角坐标系下，已知向量 $\vec{\alpha}=(1,0,-1), \vec{\beta}=(1,-2,0), \vec{\gamma}=(-1,2,-1)$ ，则 $(2 \alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta)=$ $\_\_\_\_$

2．平面曲 线 $4 x^{2}-4 x y+y^{2}+6 x-8 y+3=0$ 平行于直线 $x+2 y+1=0$ 的切线方程为
$\_\_\_\_$ ．

3．以曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=\sin t, t \in(-\infty,+\infty) \text { 为准线，以原点为顶点的锥面普通方程为 } \\ z=2\end{array}\right.$ $\_\_\_\_$

4．直纹面 $x y+z+1=0$ 平行于直线 $\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}$ 的直母线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．

八．（10 分）证明：直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 与直线 $\displaystyle l_{2}: \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 异面，并求过它们的公垂线段中点且与公垂线段垂直的平面的方程．

六．（15 分）（学硕）设 $A$ 为 $m$ 阶复方阵，$B$ 为 $n$ 阶复方阵。若 $A$ 与 $B$ 没有公共的特征值，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解．
（20 分）（专硕）设 $\displaystyle A, B$ 和 $C$ 是三个 $n$ 阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵．若它们满足 $\displaystyle A B=B A$ 和 $\displaystyle A C=C A$ ．证明：1．$\displaystyle A+B$ 是幂零矩阵；2．$\displaystyle A+C$ 是可逆矩阵．

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+5 z^{2}-6 x y+2 x z-2 y z-4 x+8 y-12 z+14=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程并判断该曲面的类型。

四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。