北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．直纹面 $x y+z+1=0$ 平行于直线 $\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}$ 的直母线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解直纹面与直母线概念
直纹面是由一族直线构成的曲面，每条直线称为直母线。本题中曲面方程为 $xy+z+1=0$，即 $z=-xy-1$。我们需要找到平行于给定直线 $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}$ 的直母线方程。
提示：注意直母线是直线，且完全位于曲面上。
步骤 2/7
目标：设定直母线方向向量并代入曲面方程
设直母线的方向向量为 $(a,b,c)$，则直线上任一点可表示为 $(x_0+at, y_0+bt, z_0+ct)$，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点。代入曲面方程得：$(x_0+at)(y_0+bt)+(z_0+ct)+1=0$。展开得：$x_0y_0 + x_0bt + y_0at + abt^2 + z_0 + ct + 1 = 0$。
公式：$(x_0+at)(y_0+bt)+(z_0+ct)+1=0$
提示：展开时注意 $t$ 的幂次项。
步骤 3/7
目标：利用恒等式条件得到约束方程
由于对任意 $t$ 成立，$t^2$ 系数、$t$ 系数和常数项必须分别为零：
- $t^2$ 系数：$ab=0$
- $t$ 系数：$x_0b + y_0a + c = 0$
- 常数项：$x_0y_0+z_0+1=0$（即点在曲面上）
公式：$ab=0$，$x_0b+y_0a+c=0$，$x_0y_0+z_0+1=0$
提示：注意 $t$ 的任意性要求所有系数为零。
步骤 4/7
目标：利用平行条件确定方向向量
给定直线方向向量为 $(1,0,1)$，故直母线方向向量 $(a,b,c)$ 与 $(1,0,1)$ 平行，存在非零常数 $k$ 使得 $(a,b,c)=k(1,0,1)$，即 $a=k$，$b=0$，$c=k$。代入 $ab=0$ 自动满足。
公式：$(a,b,c)=k(1,0,1)$
提示：注意 $k \neq 0$，否则不是直线。
步骤 5/7
目标：求解直线上一点坐标
将 $a=k$，$b=0$，$c=k$ 代入 $x_0b+y_0a+c=0$ 得 $y_0k + k = 0$，即 $k(y_0+1)=0$，因 $k\neq0$，故 $y_0=-1$。再代入常数项方程 $x_0y_0+z_0+1=0$ 得 $-x_0+z_0+1=0$，即 $z_0=x_0-1$。因此直线上一点可表示为 $(x_0, -1, x_0-1)$，其中 $x_0$ 为任意实数。
公式：$y_0=-1$，$z_0=x_0-1$
提示：注意 $x_0$ 是自由参数，不同 $x_0$ 对应不同直母线。
步骤 6/7
目标：写出直母线参数方程并消参
直母线参数方程为：
$\begin{cases} x = x_0 + t \\ y = -1 \\ z = (x_0-1) + t \end{cases}$，其中 $t$ 为参数。消去参数 $t$ 和 $x_0$：由 $x = x_0+t$ 和 $z = x_0-1+t$ 得 $z = x - 1$，而 $y=-1$。故直母线标准方程为 $\begin{cases} y = -1 \\ z = x - 1 \end{cases}$。
公式：$\begin{cases} y = -1 \\ z = x - 1 \end{cases}$
提示：消参时注意 $x_0$ 也是变量，但最终方程不含参数。
步骤 7/7
目标：验证直母线在曲面上
将 $y=-1$，$z=x-1$ 代入曲面方程 $xy+z+1=0$ 得 $x(-1)+(x-1)+1 = -x + x -1 +1 =0$，恒成立，说明该直线确实在曲面上。
提示：验证是必要步骤，确保结果正确。
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