北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．平面曲 线 $4 x^{2}-4 x y+y^{2}+6 x-8 y+3=0$ 平行于直线 $x+2 y+1=0$ 的切线方程为
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设切线方程
由于所求切线平行于直线 $x+2y+1=0$，可设切线方程为 $x+2y+c=0$，其中 $c$ 为待定常数。
提示：注意平行直线系方程的形式，斜率相同，常数项不同。
步骤 2/5
目标：联立曲线与切线方程
将切线方程 $x+2y+c=0$ 与曲线方程 $4x^2-4xy+y^2+6x-8y+3=0$ 联立。由 $x+2y+c=0$ 得 $x = -2y - c$，代入曲线方程。
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：代入并化简
代入 $x = -2y - c$ 得：
$4(-2y-c)^2 -4(-2y-c)y + y^2 +6(-2y-c) -8y +3=0$。
展开并合并同类项：
$4(4y^2+4cy+c^2) -4(-2y^2-cy) + y^2 -12y -6c -8y +3=0$，
$16y^2+16cy+4c^2 +8y^2+4cy + y^2 -20y -6c +3=0$，
$(16+8+1)y^2 + (16c+4c-20)y + (4c^2-6c+3)=0$，
即 $25y^2 + (20c-20)y + (4c^2-6c+3)=0$。
提示：展开时注意每一项的系数，特别是 $-4(-2y-c)y$ 的展开。
步骤 4/5
目标：利用判别式为零求参数
由于直线与曲线相切，联立后的二次方程应有重根，故判别式 $\Delta = 0$。
$\Delta = (20c-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (4c^2-6c+3) = 0$。
化简：$400(c-1)^2 - 100(4c^2-6c+3)=0$，
两边除以100：$4(c-1)^2 - (4c^2-6c+3)=0$，
展开：$4(c^2-2c+1) -4c^2+6c-3=0$，
$4c^2-8c+4-4c^2+6c-3=0$，
$-2c+1=0$，解得 $c = \frac{1}{2}$。
公式：判别式公式：$\Delta = b^2 - 4ac$
提示：注意化简过程中系数约分，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：得出切线方程
将 $c = \frac{1}{2}$ 代入所设切线方程 $x+2y+c=0$，得 $x+2y+\frac{1}{2}=0$，即 $2x+4y+1=0$。
提示：最终结果可以化为整系数形式，但需保持等价。
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