北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+5 z^{2}-6 x y+2 x z-2 y z-4 x+8 y-12 z+14=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程并判断该曲面的类型。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将二次曲面方程写成矩阵形式
二次曲面方程 $x^{2}+y^{2}+5z^{2}-6xy+2xz-2yz-4x+8y-12z+14=0$ 可写成矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} -4 & 8 & -12 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
+14=0.
\]
其中二次型矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵形式：$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0$
提示：注意二次型矩阵必须是对称的，交叉项系数要平分到对称位置。例如 $-6xy$ 对应 $A_{12}=A_{21}=-3$。
步骤 2/7
目标：求二次型矩阵的特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$：
\[
\begin{vmatrix}
\lambda-1 & 3 & -1 \\
3 & \lambda-1 & 1 \\
-1 & 1 & \lambda-5
\end{vmatrix}=0.
\]
展开得 $(\lambda-2)(\lambda-6)(\lambda+2)=0$，特征值为 $\lambda_1=2,\lambda_2=6,\lambda_3=-2$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意符号和代数余子式，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：求特征向量并单位化
对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)\mathbf{x}=0$，得基础解系 $(1,1,0)^T$，单位化得 $\mathbf{p}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$。
对于 $\lambda=6$，解 $(6I-A)\mathbf{x}=0$，得基础解系 $(1,-1,2)^T$，单位化得 $\mathbf{p}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$。
对于 $\lambda=-2$，解 $(-2I-A)\mathbf{x}=0$，得基础解系 $(1,-1,-1)^T$，单位化得 $\mathbf{p}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：特征向量要正交化（不同特征值自动正交），并单位化得到正交矩阵。
步骤 4/7
目标：构造正交矩阵并作正交变换
取正交矩阵 $P=(\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3)$，则 $P^TAP=\operatorname{diag}(2,6,-2)$。作正交变换 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=P\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}$，二次型部分化为 $2X^2+6Y^2-2Z^2$。
公式：正交变换：$\mathbf{x}=P\mathbf{X}$，$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{X}^T \Lambda \mathbf{X}$
提示：正交矩阵的列向量是单位正交的特征向量，顺序要与特征值对应。
步骤 5/7
目标：变换一次项部分
计算 $\mathbf{b}^T P = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -12 \end{pmatrix} P$：
\[
\begin{pmatrix} -4 & 8 & -12 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & -2\sqrt{6} & 0 \end{pmatrix}.
\]
因此一次项部分化为 $2\sqrt{2}X - 2\sqrt{6}Y$。
公式：一次项变换：$\mathbf{b}^T \mathbf{x} = \mathbf{b}^T P \mathbf{X}$
提示：矩阵乘法要仔细，注意符号和根号运算。
步骤 6/7
目标：配方并完成平移变换
方程化为 $2X^2+6Y^2-2Z^2 + 2\sqrt{2}X - 2\sqrt{6}Y + 14 = 0$。配方：
\[
2\left(X+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 6\left(Y-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 -2Z^2 +12 = 0.
\]
移项得 $2\left(X+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 6\left(Y-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 -2Z^2 = -12$。两边除以 $-12$：
\[
-\frac{\left(X+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{6} -\frac{\left(Y-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2}{2} +\frac{Z^2}{6} = 1.
\]
作平移变换 $x' = X+\frac{\sqrt{2}}{2}, y' = Y-\frac{\sqrt{6}}{6}, z' = Z$，得标准方程 $\frac{z'^2}{6} - \frac{x'^2}{6} - \frac{y'^2}{2} = 1$。
公式：配方法：$aX^2+bX = a\left(X+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}$
提示：配方时注意常数项的处理，平移后方程要化为标准形式。
步骤 7/7
目标：判断曲面类型
标准方程为 $\frac{z'^2}{6} - \frac{x'^2}{6} - \frac{y'^2}{2} = 1$，这是双叶双曲面（因为有两个负号，一个正号，且右边为1）。
公式：二次曲面标准形式：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 为单叶双曲面，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 为双叶双曲面
提示：注意符号：两个负号一个正号且右边为1是双叶双曲面。
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