北京师范大学 2023年高等代数第0题

设 $X$ 是 $m \times n$ 复矩阵，满足 $AX = XB$。定义线性变换 $\mathcal{L}: \mathbb{C}^{m \times n} \to \mathbb{C}^{m \times n}$ 为 $\mathcal{L}(X) = AX - XB$。则方程等价于 $\mathcal{L}(X) = 0$，即 $X \in \ker \mathcal{L}$。目标是证明 $\ker \mathcal{L} = \{0\}$。

线性变换 $\mathcal{L}$ 的特征值由 $A$ 和 $B$ 的特征值决定。具体地，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mu$ 是 $B$ 的特征值，则 $\lambda - \mu$ 是 $\mathcal{L}$ 的特征值（因为 $\mathcal{L}$ 可表示为 $A \otimes I_n - I_m \otimes B^T$ 的Kronecker积形式）。由于 $A$ 与 $B$ 没有公共特征值，对任意 $\lambda \in \sigma(A)$，$\mu \in \sigma(B)$，有 $\lambda \neq \mu$，从而 $\lambda - \mu \neq 0$。因此 $0$ 不是 $\mathcal{L}$ 的特征值，故 $\mathcal{L}$ 可逆，$\ker \mathcal{L} = \{0\}$。

假设存在非零解 $X \neq 0$，则存在非零向量 $v$ 使得 $Xv \neq 0$。由 $AX = XB$ 可得 $A^k X = X B^k$ 对任意正整数 $k$ 成立。取 $v$ 为 $B$ 的特征向量，对应特征值 $\mu$，则 $Xv$ 满足 $A(Xv) = X(Bv) = \mu Xv$，故 $Xv$ 是 $A$ 的特征向量，对应特征值 $\mu$，与 $A$ 和 $B$ 无公共特征值矛盾。因此 $X=0$。

由于 $A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，存在正整数 $p, q$ 使得 $A^p = 0$，$B^q = 0$。又 $AB = BA$，故 $(A+B)^{p+q}$ 的展开式中每一项都是 $A^i B^j$ 的形式，其中 $i+j = p+q$。若 $i \geq p$，则 $A^i = 0$；若 $j \geq q$，则 $B^j = 0$。因此每一项均为零，故 $(A+B)^{p+q} = 0$，即 $A+B$ 是幂零矩阵。

由 $AC = CA$ 可得 $A$ 与 $C$ 可交换。考虑 $A+C$。由于 $C$ 可逆，可写 $A+C = C(I + C^{-1}A)$。注意到 $C^{-1}A$ 是幂零矩阵：因为 $(C^{-1}A)^k = C^{-k} A^k$，而 $A^k=0$ 对某个 $k$，故 $(C^{-1}A)^k=0$。因此 $C^{-1}A$ 的特征值全为 $0$，从而 $I + C^{-1}A$ 的特征值全为 $1$，故可逆。于是 $A+C = C(I + C^{-1}A)$ 可逆。