北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型矩阵
对于二次曲线方程 $13x^{2} - 6\sqrt{3}xy + 7y^{2} - 256 = 0$，二次项部分对应的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 13 & -3\sqrt{3} \\ -3\sqrt{3} & 7 \end{pmatrix}$。注意交叉项系数 $2b = -6\sqrt{3}$，因此 $b = -3\sqrt{3}$。
公式：$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$，其中 $a=13$, $b=-3\sqrt{3}$, $c=7$
提示：注意交叉项系数要除以2再填入矩阵的对称位置。
步骤 2/5
目标：计算特征值
解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$\begin{vmatrix} 13-\lambda & -3\sqrt{3} \\ -3\sqrt{3} & 7-\lambda \end{vmatrix} = (13-\lambda)(7-\lambda) - 27 = \lambda^2 - 20\lambda + 64 = 0$。
解得 $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 16$。
公式：$\det(A - \lambda I) = 0$
提示：计算行列式时注意 $(-3\sqrt{3})^2 = 27$，不要算错。
步骤 3/5
目标：判断曲线类型（根据特征值）
特征值 $\lambda_1=4>0$, $\lambda_2=16>0$，同号且不为零，故曲线为椭圆型。由于方程中无一次项，且常数项为负（$-256$），所以曲线为椭圆。
公式：若特征值同号，曲线为椭圆型；若异号，为双曲型；若一个为零，为抛物型。
提示：注意常数项的正负会影响曲线是实椭圆还是虚椭圆。
步骤 4/5
目标：标准化二次型
通过正交变换将二次型化为标准形：$4x'^2 + 16y'^2 = 256$。两边除以256得 $\frac{x'^2}{64} + \frac{y'^2}{16} = 1$，为标准椭圆方程。
公式：$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 = -f$，其中 $f=-256$
提示：注意常数项移到等式右边时要变号。
步骤 5/5
目标：得出最终类型
由标准方程 $\frac{x'^2}{64} + \frac{y'^2}{16} = 1$ 可知，该曲线为椭圆。
提示：椭圆的长半轴为 $\sqrt{64}=8$，短半轴为 $\sqrt{16}=4$。
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