北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八．（10 分）证明：直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 与直线 $\displaystyle l_{2}: \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 异面，并求过它们的公垂线段中点且与公垂线段垂直的平面的方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明两直线异面
直线 $l_1$ 过点 $P_1(1, -3, 5)$，方向向量 $\vec{s}_1 = (2, 4, 3)$；直线 $l_2$ 过点 $P_2(0, 2, -1)$，方向向量 $\vec{s}_2 = (5, -1, 2)$。计算向量 $\vec{P_1P_2} = (-1, 5, -6)$，再计算混合积：
$$\vec{s}_1 \times \vec{s}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 3 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (11, 11, -22) = 11(1, 1, -2).$$
$$(\vec{P_1P_2}, \vec{s}_1, \vec{s}_2) = \vec{P_1P_2} \cdot (\vec{s}_1 \times \vec{s}_2) = (-1, 5, -6) \cdot (11, 11, -22) = -11 + 55 + 132 = 176 \neq 0.$$
混合积非零，故两直线异面。
公式：混合积 $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
提示：混合积为零则两直线共面，非零则异面。注意方向向量和点坐标的正确提取。
步骤 2/6
目标：求公垂线方向向量
公垂线的方向向量垂直于两条直线的方向向量，因此取 $\vec{n} = \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 = (11, 11, -22)$，可简化为 $\vec{n} = (1, 1, -2)$。
公式：公垂线方向向量 $\vec{n} = \vec{s}_1 \times \vec{s}_2$
提示：方向向量可约去公因子简化计算，但注意不要改变方向。
步骤 3/6
目标：设公垂线与两直线的交点参数
设 $l_1$ 上点 $A(1+2t, -3+4t, 5+3t)$，$l_2$ 上点 $B(5s, 2-s, -1+2s)$。由于 $\overrightarrow{AB}$ 与公垂线方向 $\vec{n}=(1,1,-2)$ 平行，存在 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{AB} = \lambda \vec{n}$，即
$$(5s - 1 - 2t, 2 - s + 3 - 4t, -1 + 2s - 5 - 3t) = \lambda (1, 1, -2).$$
公式：向量平行条件 $\overrightarrow{AB} = \lambda \vec{n}$
提示：注意参数 $t$ 和 $s$ 的符号，避免坐标计算错误。
步骤 4/6
目标：列方程组求解参数
由向量相等得方程组：
$$\begin{cases} 5s - 2t - 1 = \lambda \\ -s - 4t + 5 = \lambda \\ 2s - 3t - 6 = -2\lambda \end{cases}$$
前两式相减得 $6s + 2t - 6 = 0$，即 $3s + t = 3$。代入第三式：$2s - 3t - 6 = -2(5s - 2t - 1)$，化简得 $12s - 7t - 8 = 0$。解方程组
$$\begin{cases} 3s + t = 3 \\ 12s - 7t = 8 \end{cases}$$
得 $s = 1, t = 0$。
公式：解线性方程组
提示：注意化简过程，避免代数错误。
步骤 5/6
目标：求公垂线与两直线的交点
将 $t=0$ 代入 $A$ 得 $A(1, -3, 5)$；将 $s=1$ 代入 $B$ 得 $B(5, 1, 1)$。这两个点即为公垂线与 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点。
提示：验证交点是否在直线上，确保参数正确。
步骤 6/6
目标：求公垂线段中点及平面方程
公垂线段中点 $M$ 坐标为 $\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-3+1}{2}, \frac{5+1}{2}\right) = (3, -1, 3)$。所求平面过 $M$ 且法向量为 $\vec{n} = (1, 1, -2)$，方程为
$$1\cdot(x-3) + 1\cdot(y+1) - 2\cdot(z-3) = 0,$$
化简得 $x + y - 2z + 4 = 0$。
公式：点法式平面方程 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
提示：注意中点坐标计算，平面方程化简后检查常数项。
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