北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．以曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=\sin t, t \in(-\infty,+\infty) \text { 为准线，以原点为顶点的锥面普通方程为 } \\ z=2\end{array}\right.$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解准线方程
准线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \\ z = 2 \end{cases}$，消去参数 $t$ 得 $x^2 + y^2 = 1$ 且 $z = 2$。因此准线是平面 $z=2$ 上的单位圆。
公式：$x^2 + y^2 = 1, z = 2$
提示：注意准线是空间曲线，由两个方程确定。
步骤 2/7
目标：设定锥面上任意点
设锥面上任意一点为 $P(x, y, z)$，顶点为 $O(0,0,0)$。连接 $OP$ 的直线称为母线，母线与准线相交于一点 $Q(x_0, y_0, z_0)$。
提示：锥面由所有过顶点的直线（母线）构成，这些直线与准线相交。
步骤 3/7
目标：利用共线条件建立比例关系
由于 $O, Q, P$ 三点共线，存在实数 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{OQ} = \lambda \overrightarrow{OP}$，即 $(x_0, y_0, z_0) = \lambda (x, y, z)$。因此 $x_0 = \lambda x$, $y_0 = \lambda y$, $z_0 = \lambda z$。
公式：$x_0 = \lambda x, y_0 = \lambda y, z_0 = \lambda z$
提示：注意 $\lambda$ 可能为负，但此处不影响推导。
步骤 4/7
目标：代入准线条件确定参数 λ
点 $Q$ 在准线上，满足 $z_0 = 2$，即 $\lambda z = 2$，解得 $\lambda = \frac{2}{z}$（假设 $z \neq 0$）。同时 $Q$ 满足 $x_0^2 + y_0^2 = 1$。
公式：$\lambda = \frac{2}{z}$
提示：注意 $z=0$ 时，顶点本身是否在锥面上？顶点是锥面的特殊点，但方程通常不包含顶点，需单独考虑。
步骤 5/7
目标：将 λ 代入坐标关系
由 $x_0 = \lambda x = \frac{2x}{z}$，$y_0 = \lambda y = \frac{2y}{z}$，代入 $x_0^2 + y_0^2 = 1$ 得 $\left(\frac{2x}{z}\right)^2 + \left(\frac{2y}{z}\right)^2 = 1$。
公式：$x_0 = \frac{2x}{z}, y_0 = \frac{2y}{z}$
提示：注意 $z \neq 0$，但最终方程可能允许 $z=0$ 的情况。
步骤 6/7
目标：化简得到锥面方程
化简上式：$\frac{4x^2}{z^2} + \frac{4y^2}{z^2} = 1$，两边乘以 $z^2$ 得 $4x^2 + 4y^2 = z^2$，即 $z^2 = 4(x^2 + y^2)$。
公式：$z^2 = 4(x^2 + y^2)$
提示：注意 $z=0$ 时，方程给出 $x=y=0$，即原点，符合顶点。因此方程包含顶点。
步骤 7/7
目标：验证顶点是否满足方程
将原点 $(0,0,0)$ 代入 $z^2 = 4(x^2 + y^2)$ 得 $0=0$，成立。因此锥面方程即为 $z^2 = 4(x^2 + y^2)$。
提示：锥面方程通常包含顶点，但推导过程中需注意分母为零的情况。
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