北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证W是子空间
首先验证$W$是$\mathbb{R}^n$的子空间。
- 零向量$(0,0,\dots,0)\in W$，因为$\sum_{i=1}^n 0\cdot\alpha_i=0$。
- 对任意$(k_1,\dots,k_n),(l_1,\dots,l_n)\in W$，有$\sum k_i\alpha_i=0$和$\sum l_i\alpha_i=0$，则$\sum (k_i+l_i)\alpha_i=0$，所以$(k_i+l_i)\in W$。
- 对任意$c\in\mathbb{R}$，$\sum (c k_i)\alpha_i=c\sum k_i\alpha_i=0$，所以$c(k_i)\in W$。
因此$W$是$\mathbb{R}^n$的子空间。
提示：注意验证子空间的三条性质：包含零向量、对加法和数乘封闭。
步骤 2/7
目标：定义线性映射并确定核与像
定义线性映射$\varphi:\mathbb{R}^n\to V$为$\varphi(k_1,\dots,k_n)=\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i$。则$W=\ker\varphi$。由于$\alpha_1,\dots,\alpha_n$的极大线性无关组包含$r$个向量，不妨设$\alpha_1,\dots,\alpha_r$是一个极大无关组（通过重排），则$\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}=\operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\}$，维数为$r$。
公式：$\varphi(k_1,\dots,k_n)=\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i$
提示：注意极大无关组的选取不影响维数，但需明确重排后前r个向量线性无关。
步骤 3/7
目标：应用维数公式
由维数公式：$\dim\mathbb{R}^n = \dim\ker\varphi + \dim\operatorname{Im}\varphi$。代入$\dim\mathbb{R}^n=n$，$\dim\operatorname{Im}\varphi=r$，得$n = \dim W + r$，所以$\dim W = n-r$。
公式：$\dim\mathbb{R}^n = \dim\ker\varphi + \dim\operatorname{Im}\varphi$
提示：维数公式适用于线性映射，注意核和像的维数关系。
步骤 4/7
目标：结论
因此，$W$是$\mathbb{R}^n$的$n-r$维子空间。
步骤 5/7
目标：专硕部分：假设线性相关并取内积
设$\alpha_1,\dots,\alpha_m$是欧氏空间$V$中的一组非零向量，且两两正交。假设存在一组实数$k_1,\dots,k_m$使得$\sum_{i=1}^m k_i\alpha_i=0$。对任意固定的$j$，用$\alpha_j$与上式两边作内积，得$(\sum_{i=1}^m k_i\alpha_i,\alpha_j)=0$。由内积的线性性，$\sum_{i=1}^m k_i(\alpha_i,\alpha_j)=0$。
公式：$(\sum_{i=1}^m k_i\alpha_i,\alpha_j)=\sum_{i=1}^m k_i(\alpha_i,\alpha_j)$
提示：内积的线性性：对第一个变元线性，第二个变元共轭线性（实数域下线性）。
步骤 6/7
目标：利用正交性化简
由于正交性，当$i\neq j$时$(\alpha_i,\alpha_j)=0$，而$(\alpha_j,\alpha_j)=\|\alpha_j\|^2>0$（因为$\alpha_j$非零）。所以上式化为$k_j\|\alpha_j\|^2=0$，从而$k_j=0$。由于$j$是任意的，故所有$k_i=0$。因此$\alpha_1,\dots,\alpha_m$线性无关。
公式：$k_j\|\alpha_j\|^2=0 \Rightarrow k_j=0$
提示：注意非零向量的模长平方为正，因此系数必为零。
步骤 7/7
目标：结论
因此，有限维欧氏空间中，任意一组正交的非零向量线性无关。
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